В геометрии Точка Штейнера — специальная точка, связанная с планиметрией треугольника^[1]. Это одна из замечательных точек треугольника^[2] и она обозначается как точка X(99) в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга (Clark Kimberling).

История

Якоб Штейнер (Jakob Steiner)) (1796–1863), швейцарский математик, описал эту точку в 1826 году. Этой точке было дано имя Штейнера Джозефом Нейбергом (Joseph Neuberg) в 1886 году^[2][3].

Определение

Точка Штейнера определяется следующим образом. (Мы используем не тот способ, каким эту точку определял сам Штейнер.^[2])

Пусть дан треугольник любой ABC. Пусть O его центр описанной окружности and K - точка пересечения симедиан треугольника ABC. Окружность, построенная на OK, как на диаметре, представляет собой окружность Брокара треугольника ABC. Прямая, проходящая через O перпендикулярно к прямой BC, пересекает окружность Брокара в другой точке A' . Прямая, проходящая через O перпендикулярно к прямой CA, пересекает окружность Брокара в другой точке B' . Прямая, проходящая через O перпендикулярно к прямой AB, пересекает окружность Брокара в другой точке C' . (Треугольник A'B'C' есть Треугольник Брокара для треугольника ABC.) Пусть L_A есть прямая, проходящая через A параллельно прямой B'C' , L_B есть прямая, проходящая через B параллельно прямой C'A' , и L_C есть прямая, проходящая через C параллельно прямой A'B' . Тогда все три прямых L_A, L_B иL_C пересекаются в одной точке. Точка их пересечения и есть точка Штейнера для треугольника ABC.

Трилинейные координаты

Трилинейные координаты точки Штейнера даны ниже.

( bc / ( b² − c²) : ca / (c² − a²) : ab / (a² − b² ) )

= ( b²c² csc(B − C) : c²a² csc(C − A) : a²b² csc(A − B) )

Свойства

• Описанный вокруг треугольника ABC эллипс, который также называется эллипсом Штейнера, является эллипсом наименьшей площади, который проходит через вершины 'А' , B и C . Точка Штейнера треугольника ABC лежит на описанном вокруг треугольника ABC эллипсе Штейнера.
• Хонсбергер (Honsberger) установил следующее свойство точки Штейнера: Точка Штейнера треугольника является центром масс системы, полученной подвешиванием в каждой вершине массы, равной величине внешнего угла при этой вершине.^[4]
• Точка Штейнера не обладает этим свойством. Центр масс системы, полученной подвешиванием в каждой вершине треугольника ABC массы, равной величине внешнего угла в этой вершине не является точкой Штейнера. Этот центр массы называется центроидом кривизны Штейнера (Steiner curvature centroid) треугольника ABC и имеет трилинейные координаты:

( ( π − A ) / a, ( π − B ) / b, ( π − C ) / c ).^[5]. Этот треугольный центр обозначается как X(1115) в энциклопедии центров треугольника .

• Прямая Симсона точки Штейнера треугольника ABC параллельна линии OK , где O является центром описанной окружности и K является точкой пересечения трех симедиан (Точка Лемуана) треугольника ABC

Точка Тарри (Tarry)

Точка Тарри треугольника тесно связана с точкой Штейнера треугольника. Пусть ABC быть любой данный треугольник. Точка на описанной окружности треугольника ABC, диаметрально противоположная к точке Штейнера треугольника называется точкой Тарри треугольника ABC . Точка Тарри представляет собой центр треугольника и он обозначен как центр X(98) в энциклопедии центров треугольника . Трилинейные координаты точки Тарри приведены ниже:

( sec ( A + ω ) : sec (B + ω ) : sec ( C + ω ) ),

где ω является углом Брокара треугольника ABC .

Примечания