23-10-2023
Уравнение Ландау — Лифшица — уравнение, описывающее движение намагниченности в приближении континуальной модели в твердых телах. Впервые введено Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицем в 1935 году.
Содержание |
Для бездиссипативной среды и в отсутствие спин-поляризированного тока уравнение Ландау — Лифшица обычно записывается в виде
где — плотность магнитного момента (намагниченность), — некоторая феноменологическая постоянная, — так называемое эффективное магнитное поле.
Уравнение в основном используется для ферро- и ферримагнетиков. В общем случае постоянная не совпадает с гиромагнитным отношением и в рамках феноменологической теории должна рассматриваться как величина, определяемая из эксперимента. Их отличие обусловлено вкладом орбитальных моментов. Поэтому при условии, что магнитные ионы находятся в -состоянии (то есть орбитальные моменты отсутствуют), можно считать равным гиромагнитному отношению с большой степенью точности[1]. Это выполняется для CdCr2Se4, железо-иттриевого граната Y3Fe5O12, пермаллоя Fe20+xNi80-x и большинства др. ферро- и ферримагнитных материалов.
Эффективное магнитное поле определяется как вариационная производная свободной энергии по магнитному моменту[2]
В случае, когда рассматривается магнетик вдали от температуры Кюри или при нулевой температуре, то свободная энергия равна внутренней .
В формулировке (1) сохраняется длина вектора намагниченности. Это легко показать, домножив обе части (1) скалярно на , что даст
Этот факт дает основание говорить о прецессии намагниченности.
Строгий вывод уравнения движения намагниченности в континуальном приближении невозможен[3], поэтому часто постулируется возможность формального перехода от уравнения движения оператора спина
к уравнению (1) путем замены и разложения поля намагниченности вблизи точки в ряд Тейлора[4]. Тут — коммутатор, — гамильтониан, — оператор спина для n-го узла решетки, а — его радиус-вектор, — постоянная решетки, — магнетон Бора.
Учет диссипации, влияния температуры или спин-поляризированных токов требует модификации исходного уравнения (1), которая обычно сводится к появлению дополнительных слагаемых в правой части (1). Релаксационные члены могут иметь различную размерность и различное число параметров. Но для приближенного описания процессов в ферромагнетиках при небольшой диссипации может использоваться уравнение в любой из нижеприведенных форм[5]. Каждое из них можно преобразовать одно к другому.
Ландау и Лифшиц предложили[6] следующую модификацию:
где — параметр диссипации. Иногда за параметр диссипации принимают величину .
Часто используется релаксационный член в форме Гильберта:
где — параметр диссипации. Формальный переход между уравнениями (5) и (6) можно совершить заменой
В связи с отрицательным значением гиромагнитного отношения встречаются определения параметров релаксации с противоположными знаками в (5) и (6)[7].
Примером уравнения с диссипацией, допускающего изменение длины вектора намагниченности может служить модифицированное уравнение Блоха или уравнение Блоха — Бломергена:
где — так называемая статическая восприимчивость, определяемая как отношение намагниченности насыщения к абсолютной величине эффективного поля, а — частота релаксации.
Спин-поляризированный ток обычно описывают дополнительным слагаемым в правой части (1) вида . Один из подходов к его конкретизации[8] состоит в разложении вектора по осям, направленным вдоль , и . Тут — единичный вектор вдоль намагниченности опорного слоя. В предположении, что длина вектора намагниченности не меняется, первая проекция будет равна нулю, а две другие
где коэффциценты и пропорциональны плотности тока, зависящие от параметров поляризирующей структуры и угла между и .
Для аналитического анализа, чаще всего уравнение Ландау — Лифшица записывается в угловых переменных сферической системы координат и . В таком случае вектор намагничености можно представить как
где — намагниченность насыщения. Чтобы перейти в (1) к угловым переменным, домножим уравнение на вариацию намагниченности , выразив в угловых переменных проекцию левой части на ось аппликат. Далее, записав вариации энергии и намагниченности через вариации углов получим
Получение уравнений в угловых переменных содержащих дополнительные члены проделывается аналогично. Так для записи в форме Ландау — Лифшица — Гильберта имеем
Уравнение Ландау — Лифшица (магнетизм).