Формула Ито

12-10-2023

Формула Ито — формула замены переменной в стохастическом дифференциальном уравнении. Автор формулы Ито Кийоси - японский математик статистик.

Определение

Дан случайный процесс , заданный на фильтрованном вероятностном пространстве с потоком .

Пусть дано стохастическое дифференциальное уравнение

,

где — броуновское движение.

Пусть теперь — заданная на непрерывная функция из класса , т.е. имеющая производные , , .

При этих предположениях:

dF(t, X_t) = \left[ \frac{\partial F}{\partial t} +a(t,\omega)\frac{\partial F}{\partial x}+ \frac12b^2(t,\omega) \frac{\partial^2F}{\partial x^2} \right] dt +\frac{\partial F}{\partial x}b(t,\omega)dB_t

Говоря более строго, при каждом для справедлива следующая формула Ито:

F(t, X_t) = F(0,X_0) + \int\limits_0^t\left[ \frac{\partial F}{\partial s} +a(s,\omega)\frac{\partial F}{\partial x}+\frac12b^2(s,\omega)\frac{\partial^2 F}{\partial s^2} \right] ds +\int\limits_0^t\frac{\partial F}{\partial x}b(s,\omega)dB_s

Многомерное обобщение

Ссылки

  • Стохастический мир — простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Формула Ито.

© 2011–2023 stamp-i-k.ru, Россия, Барнаул, ул. Анатолия 32, +7 (3852) 15-49-47