Фундамента́льная гру́ппа — определённая группа, которая сопоставляется топологическому пространству. Грубо говоря, эта группа измеряет количество «дырок» в пространстве. Наличие «дырки» определяется невозможностью непрерывно продеформировать некоторую замкнутую кривую в точку.

Определение

Пусть  — топологическое пространство с отмеченной точкой . Рассмотрим множество петель в из ; то есть множество непрерывных отображений , таких что . Две петли и считаются эквивалентными, если они гомотопны друг другу в классе петель, то есть найдется соединяющая их гомотопия , удовлетворяющая свойству . Соответствующие классы эквивалентности называются гомотопическими классами. Произведением двух петель называется петля, определяемая их последовательным прохождением:

Произведением двух гомотопических классов и называется гомотопический класс произведения петель. Можно показать, что он не зависит от выбора петель в классах. Множество гомотопических классов петель с таким произведением становится группой. Эта группа и называется фундаментальной группой пространства с отмеченной точкой и обозначается .

Комментарии

• Единицей группы является класс тождественной, или неподвижной петли, обратным элементом — класс петли, пройденной в обратном направлении.
• Вообще говоря произведение петель не ассоциативно. Тем не менее индуцированное произведение на классах эквивалентности ассоциативно.
• Если  — линейно связное пространство, то с точностью до изоморфизма фундаментальная группа не зависит от отмеченной точки. Поэтому для таких пространств можно писать вместо не боясь вызвать путаницу. Однако для двух точек канонический изоморфизм между и существует лишь если фундаментальная группа абелева.

Связанные определения

• Каждое непрерывное отображение пунктированных пространств индуцирует отображение , определяемое формулой . зависит только от гомотопического класса , и выполняются равенства и . Таким образом, взятие фундаментальной группы вместе с описанной операцией образует функтор .

• Пространство называется односвязным, если оно линейно связно и группа тривиальна (состоит только из единицы).

Примеры

• В , есть только один гомотопический класс петель. Следовательно, фундаментальная группа тривиальна, . То же самое верно и для любого пространства-выпуклого подмножества

• В одномерной сфере (окружности), каждый гомотопический класс состоит из петель, которые навиваются на окружность заданное число раз, которое может быть положительным или отрицательным в зависимости от направления. Следовательно, фундаментальная группа одномерной сферы изоморфна аддитивной группе целых чисел .

• Фундаментальная группа -мерной сферы тривиальна при всех .

• Фундаментальная группа ориентированной замкнутой поверхности рода может быть задана образующими с единственным соотношением: .

Свойства

• Фундаментальная группа пространства зависит только от его гомотопического типа.
  • Обратное верно для линейно связных асферических пространств (англ.), см. также пространство Эйленберга — Маклейна (англ.).

• Если  — ретракт , содержащий отмеченную точку , то гомоморфизм , индуцированный вложением , инъективен.
  • В частности, фундаментальная группа компоненты линейной связности , содержащей отмеченную точку, изоморфна фундаментальной группе всего .
  • Если  — строгий деформационный ретракт , то является изоморфизмом.

• сохраняет произведение: для любой пары топологических пространств с отмеченными точками и существует изоморфизм

естественный по и .

• Теорема ван Кампена (англ.): Если  — объединение линейно связных открытых множеств , каждое из которых содержит отмеченную точку , и если каждое пересечение линейно связно, то гомоморфизм , индуцированный вложениями , сюрьективен. Кроме того, если каждое пересечение линейно связно, то ядро гомоморфизма  — это наименьшая нормальная подгруппа , содержащая все элементы вида (где индуцирован вложением ), а потому индуцирует изоморфизм (первая теорема об изоморфизме).^[1] В частности,
  • сохраняет копроизведения: естественно по всем .
  • (случай двух ): условие для тройных пересечений становится излишним, и получается, что , что является ограниченной (случаем линейно связного ) формой сохранения толчков.

• Свободные группы и только они могут быть реализованы как фундаментальные группы графов (действительно, стягивание остовного дерева в точку реализует гомотопическую эквивалентность графа и букета окружностей, также можно применить теорему ван Кампена).
• Произвольная группа может быть реализована как фундаментальная группа двумерного клеточного комплекса.
• Произвольная конечно заданная группа может быть реализована как фундаментальная группа замкнутого 4-мерного многообразия.
• Фундаментальная группа пространства действует сдвигами на универсальном накрытии этого пространства.

Вариации и обобщения

• Фундаментальная группа является первой из гомотопических групп.
• Фундаментальным группоидом пространства называют группоид , объектами которого являются точки , а морфизмами — гомотопические классы путей с композицией путей. При этом , и если линейно связно, то вложение является эквивалентностью категорий (англ.).

Примечания

Литература

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7
• Фундаментальная группа: Лекции по курсу «Топология». — Челябинск: ЧелГУ, 2001. — 16 с. (есть pdf)