28-05-2023
Фу́нкция Дирихле́ — функция , принимающая значение 1, если аргумент есть рациональное число, и значение 0, если аргумент есть иррациональное число,
Фу́нкция Дирихле́ является всюду разрывной функцией; все точки разрыва — точки разрыва второго рода.
Функция Дирихле применяется в теории вероятностей и математической статистике.
Названа в честь немецкого математика Дирихле.
Содержание |
Функция Дирихле принадлежит второму классу Бэра. То есть её нельзя представить как (поточечный) предел последовательности непрерывных функций. Однако, функцию Дирихле можно представить как двойной предел последовательности непрерывных функций:
Функция Дирихле периодическая, её периодом является любое положительное рациональное число. Основного периода функция не имеет.
Фу́нкция Дирихле́ является всюду разрывной функцией: во всякой окрестности каждой точки вещественной прямой содержатся как рациональные, так и иррациональные числа, и, следовательно, данная функция не будет иметь предела ни в одной точке области определения; все точки разрыва — точки разрыва второго рода.
Функция Дирихле не является интегрируемой в смысле Римана.
Интеграл Лебега от функции Дирихле на любом числовом промежутке равен нулю. Это следует из того, что мера Лебега множества рациональных чисел равна нулю:
Функция Дирихле.