21-10-2023
В теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функция Ляпунова является скалярной функцией, которая может быть использована как доказательство стабильности равновесия уравнения. Названа в честь русского математика Александра Ляпунова . Функции Ляпунова имеют важное значение для теория устойчивости и теория управления . Аналогичная концепция появляется в общей теории пространства состояний цепей Маркова, как правило, под названием функция Ляпунова-Фостера.
Для многих классов обыкновенных дифференциальных уравнений, существование функций Ляпунова является необходимым и достаточным условием для стабильности. Хотя нет общей методики построения функций Ляпунова для обыкновенных дифференциальных уравнений, во многих конкретных случаях, конструкция функций Ляпунова известна. Например, квадратичной функции достаточно для систем с одной переменной, решение определенного линейного матричного неравенства обеспечивает функцию Ляпунова для линейных систем. Законы сохранения могут быть использованы для построения функций Ляпунова для физической системы.
Неформально, функция Ляпунова - это функция, которая принимает положительные значения всюду, за исключением точки равновесия, и уменьшается (или не растет) вдоль каждой траектории обыкновенного дифференциального уравнения. Основное преимущество метода анализа устойчивости систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе функций Ляпунова заключается в том, что решение системы уравнений (аналитическое или численное) не нужно.
Содержание |
Пусть
Непрерывные скалярная функция называется кандидатом функции Ляпунова если локально является положительно опрежелённой функцией , т.е.
где окрестность
Пусть
будет произвольной автономной динамической системой с точкой равновесия :
Всегда существует преобразование координат , такое что:
Тогда новая система имеет точку равновесия в начале координат.
Пусть
является точкой равновесия ситемы автономных дифференциальных уравнений
И пусть
будет производная по времени кандидата на функцию Ляпунова .
Если кандидат-функция Ляпунова является локально положительной и производная по времени является локально неположительной:
в некоторой окрестности точки , тогда точка равновесия является стабильной.
Если кандидат-функция Ляпунова является локально положительной и производная по времени локально является отрицательной:
в некоторой окрестности точки , тогда точка равновесия является локально асимптотически стабильной .
Если кандидат-функция Ляпунова является глобально положительной, радиально неограниченной и производная по времени является глобально отрицательной:
тогда точка равновесия глобально асимптотически стабильная.
Кандидат-функция Ляпунова является радиально неограниченной если
Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение с решением x на :
Принимая во внимание функция | x | есть всегда неотрицательна в окрестности начала координат, то она будет естественным выбором кандидат-функции Ляпунова для изучения поведения x. Итак, пусть на . Тогда,
Это показывает что точка равновесия дифиренциального уравнение является асимптотически стабильной в окрестности начала координат.
Функция Ляпунова.