Функция Эйлера , где  — натуральное число, равна количеству натуральных чисел, меньших и взаимно простых с ним. Названа в честь Эйлера, который впервые использовал ее в своих работах по теории чисел.

Вычисление функции Эйлера

Пусть дано натуральное число , представленное в виде его канонического разложения на простые сомножители

Тогда функция Эйлера может быть вычислена по формуле

При этом полагается, что

Функцию Эйлера можно также представить в виде так называемого произведения Эйлера:

где  — простое число и пробегает все значения, участвующие в разложении на простые сомножители.

Также иногда функцией Эйлера называют функцию от рационального числа :

однако в этой статье о ней речь не идет.

Некоторые значения функции

Свойства

1. , если  — простое число. В частности, при имеем ;
2. , если и взаимно просты. То есть Функция Эйлера мультипликативна;
3. , если и взаимно просты. Так называемая теорема Эйлера;
5. , если  — наименьшее общее кратное, a  — наибольший общий делитель.

Асимптотические соотношения

1. где  — некоторая константа;

Аналитические соотношения

• Функция Эйлера имеет взаимосвязь с функцией Мёбиуса:

• Ряд Дирихле с коэффициентами можно представить через дзета-функцию Римана:

• Сумма ряда Ламберта с коэффициентами вида :

где .

• , где .

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера