Цепная дробь (или непрерывная дробь) — это математическое выражение вида

где a₀ есть целое число и все остальные a_n натуральные числа (положительные целые). Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально. Число представляется периодической цепной дробью тогда и только тогда, когда оно является квадратичной иррациональностью.

Разложение в цепную дробь

Любое вещественное число может быть представлено (конечной или бесконечной) цепной дробью , где

где обозначает целую часть числа .

Для рационального числа это разложение оборвётся по достижении нулевого для некоторого n. В этом случае представляется конечной цепной дробью .

Для иррационального все величины будут ненулевыми и процесс разложения можно продолжать бесконечно. В этом случае представляется бесконечной цепной дробью .

Для рациональных чисел может быть использован алгоритм Евклида для быстрого получения разложения в цепную дробь.

Подходящие дроби

n-ой подходящей дробью для цепной дроби , называется конечная цепная дробь , значение которой равно некоторому рациональному числу . Подходящие дроби с чётными номерами образуют возрастающую последовательность, предел которой равен . Аналогично, подходящие дроби с нечётными номерами образуют убывающую последовательность, предел которой также равен .

Эйлер вывел рекуррентные формулы для вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей:

Таким образом, величины и представляются значениями континуант:

Последовательности и являются возрастающими.

Числители и знаменатели соседних подходящих дробей связаны соотношением:

которое можно переписать в виде

Откуда следует, что

Приближение вещественных чисел рациональными

Цепные дроби позволяют эффективно находить хорошие рациональные приближения вещественных чисел. А именно, если вещественное число разложить в цепную дробь, то её подходящие дроби будут удовлетворять неравенству

Отсюда, в частности, следует:

• подходящая дробь является наилучшим приближением для среди всех дробей, знаменатель которых не превосходит ;
• мера иррациональности любого иррационального числа не меньше 2.

Примеры

• Разложим число =3,14159265… в непрерывную дробь и подсчитаем его подходящие дроби:

  3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, …

Вторая подходящая дробь 22/7 — это известное архимедово приближение. Четвёртая подходящая дробь 355/113 была впервые получена в Древнем Китае.

• В теории музыки требуется отыскать рациональное приближение для . Третья подходящая дробь 7/12 позволяет обосновать классическое деление октавы на 12 полутонов^[1].

Свойства и примеры

• Любое рациональное число может быть представлено в виде конечной цепной дроби двумя способами, например:

• Теорема Лагранжа: Число представляется в виде бесконечной периодической цепной дроби тогда и только тогда, когда оно является иррациональным решением квадратного уравнения с целыми коэффициентами.

Например:

золотое сечение

• Для алгебраических чисел степени большей 2 характер разложений в непрерывную дробь неизвестен. Например, даже для неизвестно, конечно ли количество различных чисел в его разложении (последовательность A002945 в OEIS).
• Для некоторых трансцендентных чисел можно найти простую закономерность. Например, для основания натурального логарифма:

для числа

• У числа пи простой закономерности не видно:^[2]

• Теорема Гаусса — Кузьмина: Почти для всех (кроме множества меры нуль) вещественных чисел существует среднее геометрическое коэффициентов соответствующих им цепных дробей, и оно равно постоянной Хинчина.
• Теорема Маршалла Холла. Если в разложении числа в непрерывную дробь, начиная со второго элемента не встречаются числа большие , то говорят, что число относится к классу Любое вещественное число может быть представленно в виде суммы двух чисел из класса и в виде произведения двух чисел из класса ^[3] В дальнейшем было показано, что любое вещественное число может быть представленно в виде суммы 3 чисел из класса и в виде суммы 4 чисел из класса Количество требуемых слагаемых в этой теореме не может быть уменьшено — для представления некоторых чисел указанным образом меньшего количества слагаемых недостаточно.^[4][5]

Приложения цепных дробей

Теория календаря

При разработке солнечного календаря необходимо найти рациональное приближение для числа дней в году, которое равно 365,2421988… Подсчитаем подходящие дроби для дробной части этого числа:

Первая дробь означает, что раз в 4 года надо добавлять лишний день; этот принцип лёг в основу юлианского календаря. При этом ошибка в 1 день накапливается за 128 лет. Второе значение (7/29) никогда не использовалось. Третья дробь (8/33), то есть 8 високосных лет за период в 33 года, была предложена Омаром Хайямом в XI веке и положила начало персидскому календарю, в котором ошибка в день накапливается за 4500 лет (в григорианском — за 3280 лет). Очень точный вариант с четвёртой дробью (31/128, ошибка в сутки накапливается только за 100000 лет) пропагандировал немецкий астроном Иоганн фон Медлер (1864), однако большого интереса он не вызвал.

Решение сравнений первой степени

Рассмотрим сравнение: , где известны, причём можно считать, что взаимно просто с . Надо найти .

Разложим в непрерывную дробь. Она будет конечной, и последняя подходящая дробь . Подставим в формулу (1):

Отсюда вытекает:

,  или:  

Вывод: класс вычетов   является решением исходного сравнения.

Другие приложения

• Доказательство иррациональности чисел. Например, с помощью цепных дробей была доказана иррациональность значения дзета-функции Римана
• Решение в целых числах уравнения Пелля^[6]: и других уравнений диофантова анализа
• Определение заведомо трансцендентного числа (см. теорема Лиувилля)
• Алгоритмы факторизации SQUFOF и CFRAC.
• Характеристика ортогональных многочленов
• Характеристика стабильных многочленов

Свойства золотого сечения

Интересный результат, который следует из того, что выражение непрерывной дроби для φ не использует целых чисел, больших 1, состоит в том, что φ является одним из самых «трудных» действительных чисел для приближения с помощью рациональных чисел. Теорема Гурвица^[7] утверждает, что любое действительное число k может быть приближено дробью m/n так, что

Хотя практически все действительные числа k имеют бесконечно много приближений m/n, которые находятся на значительно меньшем расстоянии от k, чем эта верхняя граница, приближения для φ (то есть числа 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 и т. д.) в пределе достигают этой границы, удерживая расстояние на почти точно от φ, тем самым никогда не создавая столь хорошие приближения как, к примеру, 355/113 для π. Может быть показано, что любое действительное число вида (a + bφ)/(c + dφ), где a, b, c и d являются целыми числами, причём ad − bc = ±1, обладают тем же свойствой, как и золотое сечение φ; а также, что все остальные действительные числа могут быть приближены намного лучше.

Историческая справка

Античные математики умели представлять отношения несоизмеримых величин в виде цепочки последовательных подходящих отношений, получая эту цепочку с помощью алгоритма Евклида. По-видимому, именно таким путём Архимед получил приближение  — это 12-я подходящая дробь для или от 4-й подходящей дроби для .

В V веке индийский математик Ариабхата применял аналогичный «метод измельчения» для решения неопределённых уравнений первой и второй степени. С помощью этой же техники было, вероятно, получено известное приближение для числа (355/113). В XVI веке Рафаэль Бомбелли извлекал с помощью цепных дробей квадратные корни (см. его алгоритм).

Начало современной теории цепных дробей положил в 1613 году Пьетро Антонио Катальди. Он отметил основное их свойство (положение между подходящими дробями) и ввёл обозначение, напоминающее современное. Позднее его теорию расширил Джон Валлис, который и предложил термин «непрерывная дробь». Эквивалентный термин «цепная дробь» появился в конце XVIII века.

Применялись эти дроби в первую очередь для рационального приближения вещественных чисел; например, Христиан Гюйгенс использовал их для проектирования зубчатых колёс своего планетария. Гюйгенс уже знал, что подходящие дроби всегда несократимы и что они представляют наилучшее рациональное приближение.

В XVIII веке теорию цепных дробей в общих чертах завершили Леонард Эйлер и Жозеф Луи Лагранж.

См. также

• Алгоритм Евклида
• Числа Фибоначчи

Ссылки

• В. И. Арнольд. Цепные дроби. — М.: МЦНМО, 2000. — Т. 14. — 40 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»).
• Н. М. Бескин Цепные дроби // Квант. — 1970. — Т. 1. — С. 16—26,62.
• Н. М. Бескин Бесконечные цепные дроби // Квант. — 1970. — Т. 8. — С. 10—20.
• А. А. Бухштаб. Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966. — 384 с.
• И. М. Виноградов. Основы теории чисел. — М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952. — 180 с.
• С. Н. Гладковский. Анализ условно-периодических цепных дробей, ч. 1. — Незлобная, 2009. — 138 с.
• И. Я. Депман. История арифметики. Пособие для учителей. — Изд.второе. — М.: Просвещение, 1965. — С. 253—254.
• Г. Дэвенпорт. Высшая Арифметика. — М.: Наука, 1965.
• С. В. Сизый. Лекции по теории чисел. — Екатеринбург: Уральский государственный университет им. А. М. Горького, 1999.
• А. Я. Хинчин. Цепные дроби. — М.: ГИФМЛ, 1960.

Примечания