Числа Ферма — числа вида , где n — неотрицательное целое число. Последовательность чисел Ферма начинается так:

3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617, … (последовательность A000215 в OEIS)

История

Изучение чисел такого вида начал Ферма, который выдвинул гипотезу, что все они простые. Однако, эта гипотеза была опровергнута Эйлером в 1732 году, нашедшим разложение числа на простые делители:

Свойства

• Правильный n-угольник можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда , где — различные простые числа Ферма (теорема Гаусса — Ванцеля).
• Среди чисел вида простыми могут быть только числа Ферма (т.е. n обязано быть степенью 2-ки). Действительно, если у n есть нечётный делитель и , то по теореме Безу:

и поэтому не является простым.

• Простоту чисел Ферма можно эффективно установить с помощью теста Пепина.
• На январь 2012 года известно лишь 5 простых чисел Ферма: 3, 5, 17, 257, 65537 (последовательность A019434 в OEIS). Существование других простых чисел Ферма является открытой проблемой.
• Известно, что являются составными при .
• Десятичная запись чисел Ферма, больших 5, оканчивается на 7.
• Каждый делитель числа при имеет вид (Эйлер, Люка, 1878).

Разложение на простые

Ссылки

• Леонид Дурман «Гонки по вертикали. Числа Ферма от Эйлера до наших дней: начало, продолжение, окончание». Компьютерра, №№ 393-395, 2001.
• Делители чисел Ферма (англ.)
• Wilfrid Keller, Prime Factors of Fermat Numbers (англ.)