-разложение матрицы — представление матрицы в виде произведения унитарной (или ортогональной матрицы) и верхнетреугольной матрицы.

Определение

Матрица размера () с комплексными элементами может быть представлена в виде:

где  — унитарная матрица размера , а  — верхнетреугольная матрица размера .

В частном случае, когда матрица состоит из вещественных чисел, является ортогональной матрицей (то есть , где — единичная матрица).

По аналогии, можно определить варианты этого разложения: -, -, и -разложения, где — нижнетреугольная матрица.

Свойства

Если  — квадратная невырожденная матрица, то существует единственное -разложение, если наложить дополнительное условие, что элементы на диагонали матрицы должны быть положительными вещественными числами.

Алгоритмы

-разложение может быть получено различными методами. Проще всего оно может быть вычислено, как побочный продукт в процессе Грама — Шмидта, но на практике этот алгоритм обладает плохой численной устойчивостью.

Более точные алгоритмы для вычисления -разложения основаны на отражениях Хаусхолдера и вращениях Гивенса.