sgn (сигнум, от лат. signum — знак) — кусочно-постоянная функция. Обозначается sgn x или sgn(x). Определяется следующим образом:

Функция не является элементарной.

Часто используется представление

При этом производная модуля в нуле, которая, строго говоря, не определена, доопределяется средним арифметическим соответствующих производных слева и справа.

Функция применяется в теории обработки сигналов, в математической статистике и других разделах математики, где требуется компактная запись для индикации знака числа.

История

Функцию sgn(x) ввёл Леопольд Кронекер в 1878 году, сначала он обозначал её иначе: [x]. В 1884 году Кронекеру понадобилось в одной статье использовать, наряду с sgn, функцию «целая часть», которая также обозначалась квадратными скобками. Во избежание путаницы Кронекер ввёл обозначение , которое (за вычетом точки перед аргументом) и закрепилось в науке.

Свойства функции

• Область определения: .
• Область значений: .
• Гладка во всех точках, кроме нуля.
• Функция нечётна.
• Точка является точкой разрыва первого рода, так как пределы справа и слева от нуля равны и соответственно.
• для
• , где  — дельта-функция Дирака.

См. также

• Функция Хевисайда

Литература

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — М.: Наука, 1964. — 608 с.
• Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Основные математические формулы. Справочник. — Минск: Вышэйшая школа, 1988. — 269 с.