Ве́кторное (лине́йное) простра́нство — основной объект изучения линейной алгебры.

Определение

Линейное, или векторное пространство над полем  — это непустое множество , на котором введены операции

1. сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый и
2. умножения на скаляр (то есть элемент поля ), то есть любому элементу и любому элементу ставится в соответствие единственный элемент из , обозначаемый .

При этом на операции накладываются следующие условия:

1. , для любых (коммутативность сложения);
2. , для любых (ассоциативность сложения);
3. существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности не пусто;
4. для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента относительно сложения).
5. (ассоциативность умножения на скаляр);
6. (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).
7. (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);
8. (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Элементы множества называют векторами, а элементы поля  — скалярами. Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.

Простейшие свойства

1. Векторное пространство является абелевой группой по сложению.
2. Нейтральный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.
3. для любого .
4. Для любого противоположный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.
5. для любого .
6. для любых и .
7. для любого .

Связанные определения и свойства

Подпространство

Алгебраическое определение: Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество линейного пространства такое, что само является линейным пространством по отношению к определенным в действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как . Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы

1. ;
2. для всякого вектора , вектор также принадлежал , при любом ;
3. для всяких векторов , вектор также принадлежал .

Последние два утверждения эквивалентны следующему:

для всяких векторов , вектор также принадлежал для любых .

В частности, пространство, состоящее из одного элемента , является подпространством любого пространства; любое пространство является само себе подпространством. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными или нетривиальными.

Свойства подпространств

• Пересечение любого семейства подпространств — снова подпространство;
• Сумма конечного семейства подпространств — снова подпространство. Сумма подпространств определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов :

.

В функциональном анализе в бесконечномерных пространствах особо выделяют замкнутые подпространства.

Базис. Размерность

• Конечная сумма вида

называется линейной комбинацией элементов с коэффициентами .

Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.

• Элементы называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому элементу . В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.
• Бесконечное подмножество векторов из называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.
• Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество — базисом (базисом Га́меля или линейным базисом). Элементы базиса также называют базисными векторами. Свойства базиса:
  • Любые линейно независимых элементов -мерного пространства образуют базис этого пространства.
  • Любой вектор можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:

.

Линейная оболочка

Линейная оболочка подмножества линейного пространства  — пересечение всех подпространств , содержащих .

Линейная оболочка является подпространством .

Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным . Говорят также, что линейная оболочка натянута на множество .

Линейная оболочка состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из . В частности, если  — конечное множество, то состоит из всех линейных комбинаций элементов .

Если  — линейно независимое множество, то оно является базисом и тем самым определяет его размерность.

Примеры

• Нулевое пространство, единственным элементом которого является ноль.
• Пространство всех функций с конечным носителем образует векторное пространство размерности равной мощности .
• поле вещественных чисел может быть рассмотрено как континуально-мерное векторное пространство над полем рациональных чисел.
• Любое поле является одномерным пространством над собой.

Дополнительные структуры

• Нормированное векторное пространство
• Метрическое векторное пространство
• Топологическое векторное пространство
• Евклидово пространство
• Гильбертово пространство

См. также

• Линейный оператор
• Сопряжённое пространство
• Модуль над кольцом
• Выпуклый функционал
• Линейная независимость
• Конечномерное пространство
• Прямая сумма

Литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. изд. МЦНМО, 1998.