03-07-2023
Деле́ние (операция деления) — одно из четырёх простейших арифметических действий, обратное умножению. Деление — это такая операция, которая считает сколько раз одно содержится в другом. Деление обозначается двоеточием , обелюсом или косой чертой .
Подобно тому, как умножение заменяет неоднократно повторенное сложение, деление заменяет неоднократно повторенное вычитание.
Рассмотрим, например деление 14 на 3 (14/3):
Сколько раз 3 содержится в 14?
Повторяя операцию вычитания 3 из 14, мы находим, что 3 содержится в 14 четыре раза, и ещё «остаётся» число 2.
В этом случае число 14 называется делимым, число 3 — делителем, число 4 — (неполным) частным и число 2 — остатком (от деления).
Результат деления также называют отношением.
Кольцо целых чисел не замкнуто относительно деления. Простым языком это означает то, что результат деления одного целого числа на другое может быть не целым. В случае, если всё-таки результат является целым числом, говорят о делении без остатка.
Деление чисел издавна считалось самой трудной из арифметических операций. В Средние века «секрет» деления знало не очень много посвящённых людей. Происходило это потому, что существовавшие алгоритмы деления были очень громоздки, сложны для исполнения и запоминания (например, деление в виде корабля[en]). Появление деления столбиком радикально изменило эту ситуацию — теперь деление входит в раннюю школьную программу по математике наряду с остальными арифметическими действиями. Однако так же, как и в случае с умножением (см. быстрое умножение), в последнее время открыты более эффективные алгоритмы (см. en:Division (digital)), применяющиеся в вычислительной технике.
Существуют правила, позволяющие быстро определить, делится ли число на заданный делитель без остатка (признаки делимости). Наиболее известные признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 8, 9, 11, 25 и их производные, также существует признаки делимости на 7, 13, 1001 и другие числа.
Целое число, на которое одновременно делятся без остатка несколько чисел, называется их общим делителем.
Определение количества делителей натурального числа приводит к двум важным понятиям: составное и простое число. У простого числа есть ровно два различных делителя — 1 и само число. У составных чисел различных делителей больше двух. 1 не является ни составным, ни простым числом.
В случае, если одно натуральное число не делится на другое без остатка, можно говорить о делении с остатком. Рассмотрение остатков, их сравнение и формализация в виде вычетов привели к целой науке — теории чисел.
Обычно на остаток накладываются следующие ограничения (чтобы он был корректно, то есть однозначно, определён):
где — делимое, — делитель, — частное и — остаток.
Деление произвольных целых чисел несущественно отличается от деления натуральных чисел — достаточно поделить их модули и учесть правило знаков.
Однако деление целых чисел с остатком определяется неоднозначно. В одном случае, (так же как и без остатка) рассматривают сначала модули и в результате остаток приобретает тот же знак, что делитель или делимое (например, с остатком (-1)); в другом случае понятие остатка напрямую обобщается и ограничения заимствуются из натуральных чисел:
Замыкание множества целых чисел по операции деления приводит к расширению его до множества рациональных чисел. Это приводит к тому, что результатом деления одного целого числа на другое всегда является рациональное число. Более того, полученные числа (рациональные) уже полностью поддерживают операцию деления (замкнуты относительно неё).
Правило деления обыкновенных дробей:
Деление также замкнуто в поле ненулевых вещественных чисел. Дедекиндово сечение позволяет однозначно определить результат деления.
Комплексные числа опять замкнуты относительно операции деления.
В отличие от простейших арифметических случаев на произвольных множествах и структурах деление может быть не только не определено, но и обладать множественностью результата.
Обычно в алгебре деление вводится через понятие единичного и обратного элементов. Если единичный элемент вводится однозначным образом (обычно аксиоматически или по определению), то обратный элемент часто может быть как левым (), так и правым (). Эти два обратных элемента могут по отдельности существовать или не существовать, равняться или не равняться друг другу.
К примеру, отношение матриц определяется через обратную матрицу, при этом даже для квадратных матриц может быть:
Отношение тензоров в общем случае не определено.
В общих чертах оно повторяет идеи деления натуральных чисел, ибо натуральное число есть не что иное, как значения многочлена, у которого коэффициенты — цифры, а вместо переменной стоит основание системы счисления:
Поэтому аналогично определяются: частное, делитель, делимое и остаток (с той лишь разницей, что ограничение накладывается на степень остатка). Поэтому к делению многочленов также применимо деление столбиком.
Отличие же заключается в том, что при делении многочленов основной упор делается на степени делимого и делителя, а не на коэффициенты. Поэтому обычно считается, что частное и делитель (а следовательно и остаток) определены с точностью до постоянного множителя.
По правилам стандартной арифметики деление на число 0 запрещено.
Другое дело — деление на бесконечно малую функцию или последовательность, все члены которой отличны от нуля. При этом, в точках, в которых значение функции-делителя равно нулю, значение функции-частного не определено. Деление ограниченных отделённых от нуля функций на бесконечно малые приводит к появлению бесконечно больших, а отношение двух бесконечно малых называется неопределённостью 0/0, которую можно преобразовать (см. раскрытие неопределённостей) с тем, чтобы получить определённый результат.
Частное от деления какого-либо числа, отличного от нуля, на нуль не существует, так как в этом случае никакое число не может удовлетворять определению частного[1].
Операции деления ненулевого числа на нуль не соответствует никакое действительное число. Однако число, отличное от нуля, можно разделить на число, как угодно близкое к нулю, и чем ближе делитель к нулю, тем больше будет частное. Поэтому, часто говорят, что результат этой операции считается «бесконечно большим» или «равным бесконечности» (положительной или отрицательной, в зависимости от знака операндов) и пишут:
, где
Смысл этого выражения состоит в том, что если делитель приближается к нулю, но не равен ему, а делимое остается равным a или приближается к нему, то частное неограниченно увеличивается (по модулю).
Деление (математика).
