Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Определение

Пусть есть векторное пространство над полем и — базис в .

Функция называется квадратичной формой, если её можно представить в виде

где , а — некоторые элементы поля .

Связанные определения

• Матрицу называют матрицей квадратичной формы в данном базисе. В случае, если характеристика поля не равна 2, можно считать, что матрица квадратичной формы симметрична, то есть .
• Для любой квадратичной формы существует единственная симметричная билинейная форма , такая, что . Билинейную форму называют полярной к , она может быть вычислена по формуле

• Матрица квадратичной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.

• Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг, то квадратичную форму называют невырожденной, иначе — вырожденной.
• Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого выполнено неравенство . Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными.
• Квадратичная форма называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.
• Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если для любого .

Свойства

• Критерий Сильвестра
  • Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.
  • Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.
• Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.

• Для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид:
  • Разность между числом положительных () и отрицательных () членов в этой записи называется сигнатурой квадратичной формы. Сигнатура, также как и числа положительных и отрицательных слагаемых, не зависят от способов приведения квадратичной формы к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).
• Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используется метод Лагранжа.

Примеры

• Скалярное произведение векторов — симметричная билинейная функция. Соответствующая квадратичная форма является положительно определённой, она сопоставляет вектору квадрат его длины.
• Квадратичная форма на плоскости (вектор имеет две координаты: и ) является знакопеременной, она приводится к каноническому виду с помощью линейной замены .

Литература

• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
• Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М.: Высш. шк. 1998, 320с.
• Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.