Логарифмическое распределение в теории вероятностей — класс дискретных распределений. Логарифмическое распределение используется в различных приложениях, включая математическую генетику и физику.

Определение

Пусть распределение случайной величины задаётся функцией вероятности:

,

где . Тогда говорят, что имеет логарифмическое распределение с параметром . Пишут: .

Функция распределения случайной величины кусочно-постоянна со скачками в натуральных точках:

где — неполная бета-функция.

Замечание

То, что функция действительно является функцией вероятности некоторого распределения, следует из разложения логарифма в ряд Тейлора:

,

откуда

.

Моменты

Производящая функция моментов случайной величины задаётся формулой

,

откуда

,

.

Связь с другими распределениями

Пуассоновская сумма независимых логарифмических случайных величин имеет отрицательное биномиальное распределение. Пусть последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, таких что . Пусть — Пуассоновская случайная величина. Тогда

.