Матрица Гессе

05-10-2023

Гессиан функции — симметрическая квадратичная форма, описывающая поведение функции во втором порядке.

Для функции , дважды дифференцируемой в точке

или

где (или ) и функция задана на -мерном вещественном пространстве (или комплексном пространстве ) с координатами (или ). В обоих случаях гессиан — квадратичная форма, заданная на касательном пространстве, не меняющаяся при линейных преобразованиях переменных. Гессианом также часто называют и определитель матрицы см. ниже.

Содержание

Матрица Гессе

Матрица этой квадратичной формы образована вторыми частными производными функции. Если все производные существуют, то

H(f) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix}

Определитель этой матрицы называется определителем Гессе, или гессианом.

Матрицы Гессе используются в задачах оптимизации методом Ньютона. Полное вычисление матрицы Гессе может быть затруднительно, поэтому были разработаны квазиньютоновские алгоритмы, основанные на приближённых выражениях для матрицы Гессе. Наиболее известный из них — алгоритм Бройдена — Флетчера — Гольдфарба — Шанно (англ.).

Симметрия матрицы Гессе

Смешанные производные функции f — это элементы матрицы Гессе, стоящие не на главной диагонали. Если они непрерывны, то порядок дифференцирования не важен:

\frac {\partial}{\partial x_i} \left( \frac { \partial f }{ \partial x_j} \right) = \frac {\partial}{\partial x_j} \left( \frac { \partial f }{ \partial x_i} \right)

Это можно также записать как

В этом случае матрица Гессе симметрична.

Критические точки функции

Если градиент (её векторная производная) равен нулю в некоторой точке , то эта точка называется критической. Достаточным условием существования экстремума в этой точке является знакоопределённость гессиана f (понимаемого в данном случае как квадратичная форма), а именно:

  • если гессиан положительно определён, то  — точка локального минимума функции ,
  • если гессиан отрицательно определён, то  — точка локального максимума функции ,
  • если гессиан не является знакоопределённым (принимает как положительные, так и отрицательные значения) и невырожден , то  — седловая точка функции .

Вариации и обобщения

Если f — векторнозначная функция, то есть

то её вторые частные производные образуют не матрицу, а тензор ранга n+1.

История

Понятие введено Людвигом Отто Гессе (1844), который использовал другое название. Термин «гессиан» был введён Джеймсом Джозефом Сильвестром.

См. также

Ссылки

  • Зорич В. А. Математический анализ. — Любое издание.
  • Кудрявцев Л.Д «Краткий курс математического анализа. Т.2. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных. Гармонический анализ», ФИЗМАТЛИТ, 2002, — 424 с. — ISBN 5-9221-0185-4. Или любое другое издание.
  • Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности, — М.: Мир, 1977.

Матрица Гессе.

© 2011–2023 stamp-i-k.ru, Россия, Барнаул, ул. Анатолия 32, +7 (3852) 15-49-47