13-05-2023
Метод Галёркина (метод Бубнова — Галёркина) — метод приближённого решения краевой задачи для дифференциального уравнения . Здесь оператор может содержать частные или полные производные искомой функции.
Содержание |
Первым шагом в реализации метода Галёркина является выбор набора базисных функций:
Конкретный вид функций определяется из специфики задачи и удобства работы. Часто применяются тригонометрические функции, ортогональные полиномы (полиномы Лежандра, Чебышёва, Эрмита и др.).
Решение представляется в виде разложения по базису:
Затем приближённое решение подставляется в исходное дифференциальное уравнение, и вычисляется его невязка:
Далее выдвигается требование ортогональности невязки к базисным функциям, то есть:
Отсюда получается однородная система уравнений для коэффициентов в разложении, и удаётся приближённо найти собственные значения задачи.
Рассмотрим в качестве иллюстрации обыкновенное дифференциальное уравнение:
с граничными условиями:
Решение данного уравнения известно:
Для первого нетривиального решения собственное число равно .
Теперь применим метод Галёркина. Выберем сперва одну базисную функцию:
Подставляя в уравнение, получим невязку:
и требование ортогональности невязки перепишется в виде:
Отсюда очевидно:
В приводимом здесь примере получается , что менее чем на 1,5 % отличается от точного решения. Задание большего числа базисных функций позволяет уточнить уже известное значение λ, а также получить первое приближение для следующего (соответствующего n=2).
Представим решение в виде линейной комбинации n функций:
Тогда невязка:
.
Система уравнений для коэффициентов разложения:
В этом случае собственные значения находятся из условия разрешимости системы (равенство нулю её определителя):
Важно помнить, что сходимость метода Галёркина не всегда быстро достигается. Успешное применение возможно только для т. н. самосопряжённых задач, то есть инвариантных к эрмитовому сопряжению.
Метод Галёркина имеет несколько усовершенствованных вариантов:
Методы Галёркина давно применяются как для решения дифференциальных уравнений с частными производными, так и для формирования основы метода конечных элементов.
Применение метода к исследованию задач устойчивости гидродинамических течений было реализовано Г. И. Петровым, который доказал сходимость метода Галёркина для отыскания собственных значений широкого класса уравнений, включая уравнения для неконсервативных систем, такие, как например уравнения колебаний в вязкой жидкости.
В гидродинамике наиболее эффективно метод Галёркина работает в задачах о конвекции, в силу их самосопряжённости. Задачи о течениях таковыми не являются, и сходимость метода при неудачном выборе базиса может быть сильно затруднена.
Метод приобрёл популярность после исследований Бориса Галёркина (1915). Однако этот метод разработал не он, ранее его применял Иван Бубнов (1913) для решения задач теории упругости. Поэтому иногда этот метод называют методом Бубнова — Галёркина. Теоретически метод был обоснован советским математиком Мстиславом Келдышем в 1942.
Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
Метод Галёркина.