Мультиоператорная группа — произвольная алгебра, снабжённая групповой структурой, обобщающая понятия группы, кольца, тела, операторной группы^[en] (которая, в свою очередь, обобщает модули над кольцами, в частности, векторные пространства).

Введена в 1956 году английским математиком Филипом Хиггинсом^[1][2] как наиболее универсальная структура, в которой всякая конгруэнция представляется разложением на смежные классы по идеалам, а также для которой может быть определено понятие коммутанта.

Другие примеры мультиоператорых групп — почтикольцо и почтиполе^[en]. Также изучены специальные универсальные классы мультиоператорных групп — мультиоператорные кольца^[⇨] и мультиоператорные алгебры^[⇨].

Определения

Мультиоператорная группа или -группа — алгебра , образующая группу , притом для всякой -арной операции выполнено , то есть образует подсистему в . Принимается, что часть сигнатуры не содержит нульарных операций. Иногда мультиоператорная группа называется по своей дополнительной сигнатуре — -группа.

Нормальная подгруппа группы называется идеалом мультиоператорной группы , если для любой -арной операции , произвольных () и все элементы вида:

вновь принадлежат . Может использоваться обозначение по аналогии с обозначениями нормальной подгруппы и идеала кольца. Мультиоператорная группа называется простой, если у неё существует только два идеала — сама группа и нулевая подгруппа.

Коммутатор элементов мультиоператорной группы определяется как элемент , обозначается .

Коммутант мультиоператорной группы — идеал, порождённый всеми коммутаторами и элементами вида:

для всякой -арной операции из дополнительной сигнатуры мультиоператорной группы.

Свойства идеала

Для групп идеал мультиоператорной группы совпадает с понятием нормальной подгруппы, а для колец и структур на их основе — с понятием двустороннего идеала.

Всякий идеал мультиоператорной группы является её подсистемой. Пересечение любой системы идеалов мультиоператорной группы вновь является её идеалом, притом этот идеал совпадает с подгруппой группы , порождённой этими идеалами.

Основное свойство идеала — всякая конгруэнция на мультиоператорной группе описывается разложениями на смежные классы по некоторому идеалу, иными словами, о факторсистеме мультиоператорной группы (мультиоператорной факторгруппе) можно говорить как о конструкции, производящей новую мультиоператорную группу по её идеалу.

Специальные классы мультиоператорных групп

Мультиоператрное кольцо — мультиоператорная группа , аддитивная группа которой абелева и каждая -арная операция дистрибутивна относительно группового сложения:

для любых .

Мультиоператорная алгебра — мультиоператорное кольцо, все унарные операции дополнительной сигнатуры которой образуют поле , притом структура является векторным пространством над этим полем и для всех , всех -арных операций арности больше единицы и произвольных элементов выполнено:

.

Как и другие мультиоператорные структуры, в тексте часто идентифицируется дополнительной сигнатурой: мультиоператорная -алгебра (в данном случае и для избежания неоднозначности между алгеброй над кольцом, специальным обобщением которой является, и алгеброй в универсальном смысле).

Идеалами мультиоператорных колец и алгебр являются подгруппы , в которых наличие элемента влечёт содержание в них также всех элементов вида ^[3].

Примечания