Операторная алгебра — алгебра операторов, действующих на топологическом векторном пространстве. Операторные алгебры активно применяются в теории представлений и в дифференциальной геометрии, в квантовой механике и в квантовой статистической физике, в квантовой теории поля и в современной классической механике.

Такие алгебры могут использоваться для изучения различных множеств операторов. С этой точки зрения, операторные алгебры могут рассматриваться как обобщение спектральной теории одного оператора.

Операторная алгебра представляет собой множество операторов, на котором определены алгебраические и топологические структуры. Эти структуры обычно задаются некоторым набором аксиом. В общем случае в операторных алгебрах используются некоммутативные кольца. Обычно в операторных алгебрах требуется замкнутость относительно некоторой операторной топологии.

Примерами операторных алгебр являются следующие алгебры.

1. B-алгебра (банахова алгебра).
2. С*-алгебра.
3. W*-алгебра и алгебра фон Неймана.
4. Йорданова алгебра.
5. JB-алгебра (йорданова банахова алгебра).
6. JC-алгебра.
7. JW-алгебра.
8. Лиева алгебра. (Алгебра Ли)
9. Лиево-йорданова алгебра.
10. Алгебра Гильберта.
11. Алгебра Вейля (англ.).
12. Дифференциальная алгебра.
13. Вертексная алгебра.
14. Алгебра Вирасоро.
15. Алгебра Каца-Муди.
16. Алгебра Валя.

Литература

• Мерфи Дж. С*-алгебры и теория операторов. М.: Факториал, 1997. 336с. ISBN 5-88688-016-X
• Диксмье Ж. С* — алгебры и их представления. М.: Наука, 1974. 399с.
• Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Новейшие достижения.» Том 27. Сборник статей. М.: Наука, 1985. 230с.
• Леповски Д., Ли Х. Введение в вершинные операторные алгебры и их представления. М.: РХД 2008. 424с. ISBN 978-5-93972-664-1
• Марченко. В. А. Нелинейные уравнения и операторные алгебры. Киев: Наукова думка, 1986. 155с.
• Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. Пер. с англ. М.: Мир, 1982. 512c.
• Эмх Ж. Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля. М.: Мир, 1976. 424с.
• Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Оксак А. И., Тодоров И. Т. Общие принципы квантовой теории поля. М.: Наука, 1987. 616с.
• Соловьев Ю. П., Троицкий Е. В. C*-алгебры и эллиптические операторы в дифференциальной топологии. М.: Факториал, 1996. 352c.
• Мануйлов В. М., Троицкий Е. В. С*-гильбертовы модули. М.: Факториал, 2001. 224с. ISBN 5-88688-052-6
• Кац В. Г. Вертексные алгебры для начинающих. Пер. с англ. М.: МЦНМО, 2005. 200с. ISBN 5-94057-124-7.
• Садовничий В. А. Теория операторов. 4-ое изд. М.: Дрофа, 2001. 384с. ISBN 5-7107-4297-X
• Неретин Ю. А. Представления алгебры Вирасоро и афинных алгебр. 1988.
• Маслов В. П. Операторные методы. М.: Наука, 1973. 409с.
• Диксмье Ж. Универсальные обертывающие алгебры. М.: Мир, 1978.

Литература на английском языке

• Arveson W. «An Introduction to C*-algebras», Springer, New York, 1976.
• Bratteli O. «Derivations, Dissipations and Group Actions on C*-algebras», Springer, Berlin, 1986.
• Landsman N. P. «Mathematical Topics between Classical and Quantum Mechanics», Springer, New York, 1998.
• Sakai S. «C*-algebras and W*-algebras», Springer, New York, Berlin, 1971.
• Schwartz J. T. «W*-algebras», New York, 1967.
• Takesaki M. «Theory of Operator Algebras», Springer, New York, 1979; 2nd Ed., Springer, Berlin, 2002.

См. также

• Функциональный анализ
• Теория операторов
• Оператор (математика)
• Йорданова алгебра
• Алгебра Ли
• Алгебра над кольцом
• Оператор Гильберта — Шмидта