Ква́нтовая тео́рия по́ля (КТП) — раздел физики, изучающий поведение квантовых систем с бесконечно большим числом степеней свободы — квантовых (или квантованных) полей; является теоретической основой описания микрочастиц, их взаимодействий и превращений. Именно на квантовой теории поля базируется вся физика высоких энергий, физика элементарных частиц и физика конденсированного состояния. Квантовая теория поля в виде Стандартной модели (с добавкой масс нейтрино) сейчас является единственной экспериментально подтверждённой теорией, способной описать и предсказать поведение элементарных частиц при высоких энергиях (то есть при энергиях, существенно превышающих их энергию покоя).

Математический аппарат КТП — гильбертово пространство состояний (пространство Фока) квантового поля и действующие в нём операторы. В отличие от квантовой механики, «частицы» как некие неуничтожимые элементарные объекты в КТП отсутствуют. Вместо этого основные объекты здесь — векторы фоковского пространства, описывающие всевозможные возбуждения квантового поля. Аналогом квантовомеханической волновой функции в КТП является полевой оператор (точнее, «поле» — это операторнозначная обобщённая функция, из которой только после свёртки с основной функцией получается оператор, действующий в гильбертовом пространстве состояний), способный действовать на вакуумный вектор фоковского пространства (см. вакуум) и порождать одночастичные возбуждения квантового поля. Физическим наблюдаемым здесь также соответствуют операторы, составленные из полевых операторов^{[стиль!]}.

Именно на квантовой теории поля базируется вся физика элементарных частиц.

При построении квантовой теории поля ключевым моментом было понимание сущности явления перенормировки.

История зарождения

Основное уравнение квантовой механики — уравнение Шрёдингера — является релятивистски неинвариантным, что видно из несимметричного вхождения времени и пространственных координат в уравнение. В 1926 году было предложено релятивистски инвариантное уравнение для свободной (безспиновой или с нулевым спином) частицы (уравнение Клейна — Гордона — Фока). Как известно, в классической механике (включая нерелятивистскую квантовую механику) энергия (кинетическая, поскольку потенциальная предполагается нулевой) и импульс свободной частицы связаны соотношением . Релятивистское соотношение энергии и импульса имеет вид . Предполагая, что оператор импульса в релятивистском случае такой же, как и в нерелятивистской области, и используя данную формулу для построения релятивистского гамильтониана по аналогии, получим уравнение Уравнение Клейна — Гордона:

   или    

или, кратко, используя вдобавок естественные единицы :

    ,    где   — оператор Д’Аламбера.

Однако проблема данного уравнения заключается в том, что волновую функцию здесь сложно интерпретировать как амплитуду вероятности хотя бы потому, что — как можно показать — плотность вероятности не будет положительно определенной величиной.

Несколько иное обоснование имеет уравнение Дирака, предложенное им в 1928 году. Дирак пытался получить дифференциальное уравнение первого порядка, в котором обеспечено равноправие временной координаты и пространственных координат. Поскольку оператор импульса пропорционален первой производной по координатам, то гамильтониан Дирака должен быть линейным по оператору импульса.

и с учетом формулы связи энергии и импульса, на квадрат этого оператора налагаются ограничения, а значит и на "коэффициенты" — их квадраты должны быть равны единице и они должны быть взаимно антикоммутативны. Таким образом, это точно не могут быть числовые коэффициенты. Однако, они могут быть матрицами, причем размерности не менее 4, а "волновая функция" — четырехкомпонентным объектом, получившим название биспинора. В таком случае уравнение Дирака формально имеет вид, идентичный уравнению Шредингера (с гамильтонианом Дирака).

Однако данное уравнение, впрочем как и уравнение Клейна — Гордона, имеет решения с отрицательными энергиями. Данное обстоятельство явилось причиной для предсказания античастиц, что позже и было подтверждено экспериментально (открытие позитрона). Наличие античастиц есть следствие релятивистского соотношения между энергией и импульсом.

Одновременно к концу 20-х годов был разработан формализм квантового описания многочастичных систем (включая системы с переменным числом частиц), основанного на операторах рождения и уничтожения частиц. Квантовая теория поля оказывается также основанной на этих операторах (выражается через них).

Уравнения Клейна — Гордона и Дирака следует рассматривать как уравнения для полевых операторных функций, действующих на вектор состояния системы квантовых полей, удовлетворяющих уравнению Шрёдингера.

Сущность квантовой теории поля

Лагранжев формализм

В классической механике с помощью лагранжева формализма можно описать многочастичные системы. Лагранжиан многочастичной системы равен сумме лагранжианов отдельных частиц. В теории поля аналогичную роль может играть лагранжева плотность (плотность лагранжиана) в данной точке пространства. Соответственно лагранжиан системы (поля) будет равен интегралу от плотности лагранжиана по трехмерному пространству. Действие, как и в классической механике, предполагается равным интегралу от лагранжиана по времени. Следовательно, действие в теории поля можно рассматривать как интеграл от плотности лагранжиана по четырехмерному пространству-времени. Соответственно можно применить принцип наименьшего (стационарного) действия к этому четырехмерному интегралу и получить уравнения движения для поля — уравнения Эйлера-Лагранжа. Минимальное требование к лагранжиану (лагранжевой плотности) — релятивистская инвариантность. Второе требование — лагранжиан не должен содержать производных полевой функции выше первой степени, чтобы уравнения движения получались "правильными" (соответствовали классической механике). Есть также и иные требования (локальность, унитарность и др.). Согласно теореме Нётер инвариантность действия относительно k-параметрических преобразований, приводит к k динамическим инвариантам поля, то есть к законам сохранения. В частности инвариантность действия относительно трансляций (сдвигов) приводит к сохранению 4-импульса.

Пример: Скалярное поле c лагранжианом

Уравнения движения для данного поля приводят к уравнению Клейна-Гордона. Для решения этого уравнения полезно перейти к импульсному представлению через преобразование Фурье. Из уравнения Клейна-Гордона нетрудно видеть, что коэффициенты Фурье будут удовлетворять условию

где — произвольная функция

Дельта-функция устанавливает связь между частотой (энергией) , волновым вектором (вектором импульса) и параметром (массой) : . Соответственно для двух возможных знаков имеем два независимых решения в импульсном представлении (интеграл Фурье)

Можно показать, что вектор импульса будет равен

Следовательно, функцию можно интерпретировать как среднюю плотность частиц с масоой , импульсом и энергией . После квантования эти произведения превращаются в операторы, имеющие целочисленные собственные значения.

Квантование поля. Операторы рождения и уничтожения квантов

Квантование означает переход от полей к операторам, действующим на вектор (амплитуду) состояния Φ. По аналогии с обычной квантовой механикой вектор состояния полностью характеризует физическое состояние системы квантованных волновых полей. Вектор состояния — это вектор в некотором линейном пространстве.

Основной постулат квантования волновых полей заключается в том, что операторы динамических переменных выражаются через операторы полей таким же образом, что и для классических полей (с учетом порядка перемножения)

Для квантового гармонического осциллятора получена известная формула квантования энергии . Собственные функции, соответствующие указанным собственным значениям гамильтониана, оказываются связанными друг с другом некоторыми операторами — повышающий оператор, — понижающий оператор. Следует отметить, что эти операторы некоммутативны (их коммутатор равен единице). Применение повышающего или понижающего оператора увеличивает квантовое число n на единицу и приводит к одинаковому увеличению энергии осциллятора (эквидистантность спектра), что можно интерпретировать как рождение нового или уничтожение кванта поля с энергией . Именно такая интерпретация позволяет использовать вышеприведенные операторы, как операторы рождения и уничтожения квантов данного поля. Гамильтониан гармонического осциллятора выражается через указанные операторы следующим образом , где — оператор числа квантов поля. Как нетрудно показать — то есть, собственные значения этого оператора — число квантов. Любое n-частичное состояние поля может быть получено действием операторов рождения на вакуум

Для вакуумного состояния результат применения оператора уничтожения равен нулю (это можно принять за формальное определение вакуумного состояния).

В случае N осцилляторов гамильтониан системы равен сумме гамильтонианов индивидуальных осцилляторов. Для каждого такого осциллятора можно определить свои операторы рождения . Следовательно произвольное квантовое состояние такой системы может быть описано с помощью чисел заполнения — количества операторов данного сорта k, действующих на вакуум:

Такое представление называют представлением чисел заполнения. Суть данного представления заключается в том, чтобы вместо задания функции функции от координат (координатное представление) или как функцию от импульсов (импульсное представление), состояние системы характеризуется номером возбужденного состояния — числом заполнения.

Можно показать, что, например, скалярное поле Клейна-Гордона может быть представлено как совокупность осцилляторов. Разлагая полевую функцию в бесконечный ряд Фурье по трехмерному вектору импульса можно показать, что из уравнения Клейна-Гордона следует, что амплитуды разложения удовлетворяют классическому дифференциальному уравнению второго порядка для осциллятора с параметром (частотой) . Рассмотрим ограниченный куб и наложим условие периодичности по каждой координате с периодом .Условие периодичности приводит к квантованию допустимых импульсов и энергии осциллятора:

Операторы поля, операторы динамических переменных

Фоковское представление

Квантование по Бозе-Эйнштейну и Ферми-Дираку. Связь со спином.

Коммутационные соотношения Бозе-Эйнштейна основаны на обычном коммутаторе (разность "прямого" и "обратного" произведения операторов), а коммутационные соотношения Ферми-Дирака — на антикоммутаторе (сумма "прямого" и "обратного" произведения операторов). Кванты первых полей подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна и называются бозонами, а кванты вторых подчиняются статистике Ферми-Дирака и называются фермионами. Квантование полей по Бозе-Эйнштейну оказывается непротиворечивым для частиц с целым спином, а для частиц с полуцелым спином непротиворечивым оказывается квантование по Ферми—Дираку. Таким образом, фермионы являются частицами с полуцелым спином, а бозоны — с целым.

S-матричный формализм. Диаграммы Фейнмана

Проблема расходимостей и пути их решения

Аксиоматическая квантовая теория поля

См. также

• Теория всего
• Исключительно простая теория всего

Литература

• Квантовая теория поля — Физическая энциклопедия (гл. редактор А. М. Прохоров).
• «Характер физических законов» — М., Наука, 1987 г., 160 с.
• Ричард Фейнман, «КЭД — странная теория света и вещества» — М., Наука, 1988 г., 144 с.
• Введение в теорию квантованных полей. — М.: Наука, 1984. — 600 с.
• Вентцель Г. Введение в квантовую теорию волновых полей. — М.: ГИТТЛ, 1947. — 292 с.
• Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля. — М.: Мир, 1984. — Т. 1. — 448 с.
• Райдер Л. Квантовая теория поля. — М.: Мир, 1987. — 512 с.