17-10-2023
В линейной алгебре, подпростра́нством Крыло́ва размерности порождённым вектором и матрицей называется линейное пространство
Подпространство Крылова является подпространством векторного пространства над полем комплексных чисел:
Такие пространства были названы в честь российского прикладного математика и военно-морского инженера А. Н. Крылова, который опубликовал работу по этой проблеме в 1931 году.
Содержание |
В силу конечномерности пространства найдётся такое что векторы линейно-независимы, а есть линейная комбинация этих векторов с коэффициентами
Составим полином и получим:
Полином степени является минимальным многочленом вектора v относительно матрицы A.
Алгоритмы, использующие подпространства Крылова, традиционно называют методами Крыловского типа. Они среди самых успешных методов, в настоящее время доступных по числовой линейной алгебре.
Современные итерационные методы поиска собственных значений и методы решения СЛАУ, ориентированные на матрицы больших размерностей, избегают матрично-матричных операций, и чаще умножают матрицу на векторы и работают с получившимися векторами:
где
.
Самые известные методы подпространства Крылова — Метод Арнольди, Метод Ланцоша, Метод сопряжённых градиентов, GMRES, BiCG, BiCGSTAB, QMR, TFQMR и MinRES.
Подпространство Крылова.