Треугольник Паскаля — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. Имеет применение в теории вероятностей.

§История

Первое упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием meru-prastaara встречается в комментарии индийского математика X века Халаюдхи к трудам другого математика, Пингалы. Треугольник исследуется также Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма. В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй (поэтому китайцы называют его треугольником Яна Хуэя). На титульном листе учебника арифметики, написанном в 1529 году Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета, также изображён треугольник Паскаля. А в 1653 году (в других источниках в 1655 году^[1]) вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике»^[2].

§Свойства

• Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.
• В строке с номером n:
  • первое и последнее числа равны 1.
  • второе и предпоследнее числа равны n.
  • третье число равно треугольному числу , что также равно сумме номеров предшествующих строк.
  • четвёртое число является тетраэдрическим.
  • m-е число (при нумерации с 0) равно биномиальному коэффициенту .
• Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n-1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи:

• Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана.
• Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна .
• Все числа в n-й строке, кроме единиц, делятся на число n, если и только если n является простым числом^[3] (следствие теоремы Люка).
• Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n+1, 3n+2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше.
• Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.

§Цитаты

§См. также

• Треугольник Серпинского

§Примечания