Уравнение Риккати (итал. Equazione di Riccati) — обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида

Уравнением Риккати называют также многомерный аналог (*), то есть систему обыкновенных дифференциальных уравнений с независимыми переменными правые части которых являются многочленами второй степени от переменных с зависящими от коэффициентами. Одномерные и многомерные уравнения Риккати находят применения в различных областях математики: алгебраической геометрии,^[1] теории вполне интегрируемых гамильтоновых систем,^[2] вариационном исчислении,^[3] теории конформных отображений, квантовой теории поля.^[4]

История

Частный случай такого уравнения:

где  — постоянные, впервые был исследован итальянскими математиками Якопо Франческо Риккати и семейством Бернулли (Даниил, Иоганн, Николай старший и Николай младший). ^{[5] [6] [7]} Ими было найдено условие, при котором это уравнение допускает разделение переменных и, следовательно, интегрирование в квадратурах: или Как доказал Жозеф Лиувилль (1841), при других значениях решение уравнения (**) нельзя выразить в квадратурах от элементарных функций; общее решение его может быть записано с помощью цилиндрических функций.

Уравнение вида (*) часто называют общим уравнением Риккати, а уравнение вида (**) — специальным уравнением Риккати.

Свойства

• Уравнение Риккати (*) в случае является линейным и интегрируется в квадратурах.
• Уравнение Риккати (*) в случае является уравнением Бернулли и интегрируется в квадратурах с помощью замены
• Общее решение уравнения Риккати (*) является дробно-линейной функцией от постоянной интегрирования, и обратно, любое дифференциальное уравнение первого порядка, обладающее этим свойством, является уравнением (*).
• Если  — частные решения уравнения Риккати (*), соответствующие значениям постоянной интегрирования, то имеет место тождество

• Левая часть тождества (***) — двойное отношение четырёх частных решений — является первым интегралом уравнения Риккати (*). Таким образом, общее решение уравнения (*) восстанавливается из трёх независимых частных решений по формуле (***).

Обобщение

Матричным уравнением Риккати называется дифференциальное уравнение

относительно неизвестной квадратной матрицы порядка , в котором  — заданные квадратные матрицы порядка с зависящими от переменной коэффициентами.

В вариационном исчислении большую роль играет матричное уравнение Риккати вида

относительно неизвестной квадратной матрицы порядка , в котором — заданные квадратные матрицы порядка с зависящими от переменной коэффициентами, причем звёздочка означает транспонирование. Оно тесно связано с уравнением Якоби для второй вариации интегрального функционала

в стационарной точке При этом матрицы

Литература

• Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
• Егоров А.И. Уравнения Риккати, — Физматлит, Москва, 2001.

Ссылки

• Wolfram Math. World: Riccati Differential Equation
• Eq. World: General Riccati equation

Примечания