16-06-2023
В математике бета-функцией (-функцией, бета-функцией Эйлера или интегралом Эйлера I рода) называется следующая специальная функция от двух переменных:
определённая при , .
Бета-функция была изучена Эйлером и Лежандром [когда?], а название ей дал Жак Бине.
Содержание |
Бета-функция симметрична относительно перестановки переменных, то есть
Бета-функцию можно выразить через другие функции:
где — Гамма-функция;
где — нисходящий факториал, равный .
Подобно тому как гамма-функция для целых чисел является обобщением факториала, бета-функция является обобщением биномиальных коэффициентов с немного изменёнными параметрами:
Частные производные у бета-функции следующие:
где — дигамма-функция.
Неполная бета-функция — это обобщение бета-функции, заменяющее интеграл по отрезку на интеграл с переменным верхним пределом:
При неполная бета-функция совпадает с полной.
Регуляризованная неполная бета-функция определяется через полную и неполную бета-функции:
С помощью бета-функции описываются многие свойства элементарных частиц, участвующих в сильном взаимодействии. Эта особенность подмечена Габриэле Венециано в 1968 году. В 1970 году Ёитиро Намбу, Холгер Бен Нильсен и Леонард Сасскинд сумели выявить физический смысл, скрывавшийся за бета-функцией. Это положило начало теории струн.
Бета-функция.
