Винеровский процесс в теории случайных процессов — это математическая модель броуновского движения или случайного блуждания с непрерывным временем.

Определение

Случайный процесс называется винеровским процессом, если

1. почти наверное.
2. — процесс с независимыми приращениями.
3. , для любых , где обозначает нормальное распределение со средним и дисперсией . Величина является постоянной для данного процесса.

Физический смысл

Винеровский процесс описывает броуновское движение частицы, совершающей беспорядочные перемещения под влиянием ударов молекул жидкости. Константа при этом зависит от массы частицы и вязкости жидкости.

Непрерывность траекторий

Существуют винеровские процессы такие, что почти все их траектории непрерывны. Часто непрерывность траекторий включается в определение винеровского процесса.

Свойства винеровского процесса

• — гауссовский процесс.
• — марковский процесс.
• Очевидно, . В частности:

,

.

• .

• Винеровский процесс автомоделен. Если — винеровский процесс, и , то

также является винеровским процессом.

• Корреляционная функция для производной винеровского процесса является дельта-функцией.

• Траектории винеровского процесса нигде не дифференцируемы почти наверное. Производная (в обобщенном смысле) винеровского процесса - нормальный белый шум.

• Для любого заданного отрезка траектории винеровского процесса — функции неограниченной вариации на этом отрезке почти наверное

Многомерный винеровский процесс

Многомерный (-мерный) винеровский процесс — это -значный случайный процесс, составленный из независимых одномерных винеровских процессов, то есть

,

где процессы совместно независимы.

Ссылки

• Стохастический мир — простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

См. также

• Норберт Винер