Стохастический интеграл - интеграл вида , где - случайный процесс с независимыми нормальными приращениями. Стохастические интегралы широко используются в стохастических дифференциальных уравнениях. Стохастический интеграл нельзя вычислять как обычный интеграл Стильтьеса.

Стохастический интеграл от детерминированной функции

Cтохастический интеграл можно определить при помощи сумм следующим образом: . Интеграл получается, как и у интеграла Стильтьеса, обычным методом обобщения: .

Стохастический интеграл от стохастического процесса

Рассмотрим интеграл , где - винеровский процесс с единичным параметром дисперсии. Разделим интервал (0, T) точками на N подинтервалов. Используя предыдущее определение интеграла для детерминированной функции, стохастический интеграл можно определить любым из двух выражений: , или . Эти интегралы не равны, поскольку, по определению винеровского процесса: . Произвольный стохастический интеграл можно определить как взвешенную по параметру сумму интегралов и следующей формулой: , при . Интеграл называется интегралом Ито, а называется интегралом Стратоновича.

Интеграл Стратоновича

Интеграл Стратоновича имеет вид: .

Интеграл Ито

Интеграл Ито имеет вид: . Его основные свойства: , .

См. также

• Винеровский процесс
• Стохастическое исчисление Ито
• Стратонович, Руслан Леонтьевич

Литература

• К.Ю. Острём Введение в стохастическую теорию управления. // пер. с англ. С.А. Анисисмова, Н.Е. Арутюновой, А.Л. Бунича, под ред.

Н.С. Райбмана, "Мир", М., 1973, гл. 3. Стохастические модели состояния, п. 5. Стохастические интегралы.