Примечание: всюду в данной статье, где используется знак имеется в виду (кратный) интеграл Римана , если не оговорено обратное;
всюду в данной статье, где говорится об измеримости множества, имеется в виду измеримость по Жордану, если не оговорено обратное.

Определение

Пусть - измеримое (по Жордану) множество. Разбиение множества - это любой набор измеримых множеств, пересекающихся лишь по границам и . Выберем точки - получили - разбиение с отмеченными точками.

Пусть функция определена на , тогда интегральной суммой называется .

Функция интегрируема по Риману в кратном смысле на и - её интеграл, если : для любого отмеченного разбиения с и диаметром выполняется неравенство . Обозначается интеграл от функции на измеримом множестве : .

Некоторые свойства кратного интеграла Римана

1. Если функция интегрируема по Риману на измеримом множестве , то , что функция ограничена на множестве , где - внутренность . (См. Связь интегрируемости по Риману и ограниченности).
2. Если функция интегрируема по Риману на измеримом множестве , функция определена на и на для некоторого , то интегрируема по Риману на и .
3. Линейность. Если (ограничена и интегрируема по Риману на ), то функция и . Если , то и . Следует из свойств интеграла как предела по базе.
4. Аддитивность по множествам. Если и , то и, если , то . Первая часть следует из критерия Лебега.
5. Интегрируемость по подмножеству. Если , - измеримое по Жордану подмножество , то . Следует из критерия Лебега.
6. Если , то . Следует из критерия Лебега.
7. Если , функция непрерывна на отрезке . Следует из критерия Лебега.
8. Если , и изменить на множестве , то измененная функция , при условии её ограниченности на , также интегрируема по Риману на и .
9. Если и на , то . Следует из свойств интеграла как предела по базе.
10. Если , то и .
11. Если , на и - внутренняя точка и точка непрерывности , то .

Теоремы

• Критерий интегрируемости Дарбу.

Ограниченная функция на измеримом множестве интегрируема по Риману , и в случае равенства: , где и - соответственно нижний и верхний интегралы Дарбу.

• Критерий интегрируемости Лебега.

Ограниченная на измеримом множестве интегрируема по Риману непрерывна почти всюду на .

• Теоремы о связи интеграла Римана и меры Жордана.
  • Теорема 1. Пусть - измеримое множество в . Тогда измеримость по Жордану множества характеристическая функция интегрируема по Риману на , и в случае измеримости выполняется равенство: .
  • Теорема 2. Пусть - измеримое множество в , функция на . Пусть множество Невозможно разобрать выражение (<math_output_error>): A_f=\left\{(\vec x,y)\in\mathbb{R}^{n+1}:\ \vec x\in A,\ 0\leqslant y\leqslant f(\vec x)\right\}

. Тогда интегрируемость по Риману ограниченной функции на множестве множество измеримо по Жордану в . При этом в случае измеримости выполняется равенство: .

• • Следствие. Ограниченная на измеримом множестве функция интегрируема по Риману на множества и измеримы по Жордану в . И в случае их измеримости выполняется равенство: .
• Теоремы о сведении кратных интегралов Римана в повторным.
  • Теорема. Пусть функция , где - брус, являющийся произведением промежутков: . Пусть , для каждого , обозначим через и нижний и верхний интегралы Дарбу от по на Невозможно разобрать выражение (<math_output_error>): \Pi^'=\prod_{k=1}^m [a_k,b_k]\subset\mathbb{R}^m

. Тогда и интегрируемы по Риману на и .

• • Следствие 1. Пусть , где - брус, являющийся произведением промежутков: . Пусть , такая функция на , что , где и - соответственно нижний и верхний интегралы Дарбу от при фиксированном по на . Тогда функция интегрируема по Риману на и .
  • Следствие 2. Пусть , где - брус, являющийся произведением промежутков: . Если , функция интегрируема по Риману на Невозможно разобрать выражение (<math_output_error>): \Pi^'=\prod_{k=1}^m [a_k,b_k]\subset\mathbb{R}^m

, то её интеграл интегрируем по Риману на и

• • Следствие 3. Пусть . Обозначим через - проекцию множества на что . Для обозначим через - сечение множества . Предположим, что и все - измеримые по Жордану множества в и соответственно, причём для каждого функция . Тогда интегрируем на и Невозможно разобрать выражение (<math_output_error>): \int\limits_{A^{''}}{\int\limits_{A^'(\vec x\,'')}f(\vec x\,',\vec x\,'')\,d\vec x\,'}\,d\vec x\,''=\int\limits_A f(\vec x)\,d\vec x

.

См. также

• Кратный интеграл
• Несобственный кратный интеграл Римана
• Одномерный интеграл Римана
• Интеграл Римана — Стилтьеса
• Интеграл Лебега
• Интеграл Мак-Шейна
• Интеграл Курцвейля-Хенстока
• Теорема Фубини
• Формула Ньютона — Лейбница
• Список интегралов
• Интеграл Даниэля