Нера́венство Минко́вского — это неравенство треугольника для пространств функций с интегрируемой -ой степенью.

Формулировка

Пусть — пространство с мерой, и функции , то есть , где , и интеграл понимается в смысле Лебега. Тогда , и более того:

.

Доказательство

Сначала докажем, что

суммируема на .

Введем множества:






Перейдем к доказательству неравенства Минковского:



можно применить к ним Неравенство Гёльдера:




Таким образом:



Делим левую и правую части на .

Неравенство доказано.

Примечание: В случае, когда неравенство очевидно, т.к. справа стоят неотрицательные числа.

Замечание

Неравенство Минковского показывает, что в линейном пространстве можно ввести норму:

,

которая превращает его в нормированное, а следовательно и метрическое пространство.

Частные случаи

Евклидово пространство

Рассмотрим Евклидово пространство или . -норма в этом пространстве имеет вид:

,

и тогда

.

Если и , то получаем классическое неравенство треугольника из планиметрии и стереометрии.

Пространство l^p

Пусть — счётная мера на . Тогда множество всех последовательностей , таких что

,

называется . Неравенство Минковского для это пространства имеет вид:

.

Вероятностное пространство

Пусть — вероятностное пространство. Тогда состоит из случайных величин с конечным -м моментом: , где символ обозначает математическое ожидание. Неравенство Минковского в этом случае имеет вид:

.

Литература

• Вулих Б.З. Краткий курс теории функции вещественной переменной. — 2-е изд., переработанное и дополненное. — М: Наука, 1973. — 352 с.

См. также

• Пространство Lp
• Минковский, Герман
• Неравенство Гёльдера