Норма — функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или абсолютного значения числа.

Определение

Норма вектора

Норма в векторном пространстве над полем вещественных или комплексных чисел — это функционал , обладающий следующими свойствами:

2. (неравенство треугольника);

Эти условия являются аксиомами нормы.

Векторное пространство с нормой называется нормированным пространством, а условия (1-3) — также аксиомами нормированного пространства.

Нетрудно видеть, что из аксиом нормы вытекает свойство неотрицательности нормы:

4.

Действительно:

Из 3 получаем, что . Теперь из 2 получаем . Таким образом, .

Чаще всего норму обозначают в виде: . В частности, — это норма элемента векторного пространства .

Вектор с единичной нормой () называется нормальным или нормированным.

Любой ненулевой вектор можно нормировать, то есть разделить его на свою норму: вектор имеет единичную норму. С геометрической точки зрения это значит, что мы берем сонаправленный вектор единичной длины.

Норма матрицы

Нормой матрицы называется вещественное число , удовлетворяющее первым трём из следующих условий:

1. , причём только при ;
2. , где ;
3. ;
4. .

Если выполняется также и четвёртое свойство, норма называется мультипликативной. Матричная норма, составленная как операторная, называется подчинённой по отношению к норме, использованной в пространствах векторов. Очевидно, что все подчинённые матричные нормы мультипликативны. Немультипликативные нормы для матриц являются простыми нормами, заданными в линейных пространствах матриц.

Матричная норма из называется согласованной с векторной нормой из и векторной нормой из если справедливо:

для всех .

Норма оператора

Норма оператора — число, которое определяется, как:

,

где — оператор, действующий из нормированного пространства в нормированное пространство .

Это определение эквивалентно следующему:

• Свойства операторных норм:

1. , причём только при ;
2. , где ;
3. ;
4. .

Оператору в некотором базисе соответствует матрица — матрица оператора. Поэтому свойства нормы оператора полностью повторяют аналогичные свойства нормы матрицы.

Свойства нормы

3. [косинус угла]
5. [аксиома 1]

Эквивалентность норм

• Две нормы и на пространстве называются эквивалентными, если существует две положительные константы и такие, что для любого выполняется . Эквивалентные нормы задают на пространстве одинаковую топологию. В конечномерном пространстве все нормы эквивалентны.

Примеры

Линейные нормированные пространства

• Любое предгильбертово пространство можно считать нормированным, так как скалярное произведение порождает естественную норму

• Гёльдеровы нормы -мерных векторов (семейство): ,

где (обычно подразумевается, что это натуральное число). В частности:

• (евклидова норма),
• (это предельный случай ).

• Нормы функций в  — пространстве вещественных (или комплексных) непрерывных функций на отрезке [0,1]:
  •  — в смысле этой нормы пространство непрерывных на отрезке функций образует полное линейное пространство. Этого нельзя сказать о следующих двух примерах нормы на этом пространстве, тем не менее, законных:

• Аналогично можно ввести нормы для конечномерных векторных функций конечномерных векторных аргументов, заменив на , а интегрирование по отрезку интегрированием по области (максимум же на отрезке — в соответствующем случае — максимумом на области).

Некоторые виды матричных норм

• -норма:
• -норма:
• Норма Фробениуса: .

Здесь — сопряжённая к матрица, — след матрицы.

• p-норма ():
• В случае p = 2 (евклидова норма) и m = n (квадратные матрицы), подчиненная норма матрицы называется спектральная норма. Спектральная норма матрицы A равна наибольшему сингулярному числу матрицы A или квадратному корню из наибольшего собственного числа положительно полуопределённой матрицы :

где обозначает матрицу, сопряжённую к матрице .

Связанные понятия

Топология пространства и норма

Норма задаёт на пространстве метрику (в смысле — функцию расстояния метрического пространства), порождая таким образом метрическое пространство, а значит топологию, базой которой являются всевозможные открытые шары, то есть множества вида . Понятия сходимости, определённой на языке теоретико-множественной топологии в такой топологии и определённой на языке нормы, при этом совпадают.

См. также

• Полунорма
• Метрика
• Скалярное произведение