21-04-2023
Функциона́л — числовая функция, заданная на векторном пространстве. Функционал берёт в качестве аргумента элемент линейного пространства (вектор) и возвращает в качестве результата скаляр. Довольно часто в роли линейного пространства выступает то или иное пространство функций (непрерывные функции на отрезке, интегрируемые функции на плоскости т. д. Поэтому, неформально говоря, функционал — это функция от функций, переводящая функцию в число (действительное или комплексное). Преобразования функций — операторы — составляют отдельную тему.
Пожалуй, самый простой функционал — проекция (сопоставление вектору одной из его координат).
Отображение, переводящее вектор в его норму, является выпуклым положительно определённым функционалом, это один из самых распространённых функционалов. В физике часто используется действие — тоже функционал.
Задачи оптимизации формулируются на языке функционалов: найти решение (уравнения, системы уравнений, системы ограничений, системы неравенств, системы включений и т. п.), доставляющее экстремум (минимум, максимум) заданному функционалу. Функционалы также рассматриваются в вариационном анализе.
Функционал называется непрерывным на линии (в точке) y0(x), если для любого ε>0 существует δ(ε) такое, что для любых дельта-близких ||y(x)-y0(x)||<δ |I(y(x))-I(y0(x))|<ε.
Выбор функционального пространства, задание подходящего функционала и решение соответствующей задачи оптимизации составляют суть функционального анализа. Поиск наилучшего приближения функций на заданном функциональном пространстве — важнейшая задача функционального анализа.
Содержание |
Позднее от понятия традиционного функционала отделилось понятие функционала в линейном пространстве, как функции, отображающей элементы линейного пространства в его пространство скаляров. Зачастую (например, когда пространство функций является линейным пространством) эти две разновидности понятия «функционал» совпадают, в то же время они не тождественны и не поглощают друг друга.
Особенно важной разновидностью функционалов являются линейные функционалы.
Выделяют следующие специальные виды функционалов:
Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
Функционал.