Процедура Кэли-Диксона (процедура удвоения) — это рекурсивная процедура построения алгебр над полем вещественных чисел, с удвоением размерности на каждом шагу. Названа в честь Артура Кэли и Леонарда Диксона.

Эта процедура позволяет построить комплексные числа, кватернионы, октонионы, седенионы и т.п. Также используется в теореме Гурвица для нахождения всех нормированных алгебр с единицей.

Кватернионы

Произвольный кватернион   можно представить в виде или эквивалентно где — комплексные числа, поскольку выполняется как для комплексных чисел, так и для кватернионов, а .

Возмём ещё один кватернион Перемножив и раскрыв скобки (т.к. умножения кватернионов ассоциативно) получим:

.

Поскольку то переставляя множители получим:

Следовательно кватернионы можно определять как выражения, вида , удовлетворяющие вышеприведенной формуле умножения. Данная формула интересна тем, что она расширяет формулу умножения чисто комплексных чисел (т.е. кватернионов с ).

Общий случай

Если для некоторых чисел та существуют понятия: умножения, деления, сопряженного числа и нормы числа как

то эти понятия можно ввести и для упорядоченых пар чисел :

•  — закон умножения пар,

•  — сопряжённая пара.

Свойства

• (расширенная) норма упорядоченой пары:

 — равна нулю только при a=b=0.

• (расширенное) деление определяется как или  — значит с предыдущей свойства вытекает отсутствие делителей нуля.

• Если для чисел выполняется это выполняется и для упорядоченных пар:

• Если для упорядоченных пар выполено предварительное условие и условие альтернативности, то они образуют нормированную алгебру, поскольку:

Обобщения

Предыдущие формулы строят гиперкомплексные системы, когда «мнимая единица расширения» имела квадрат равный «-1». Но при создании пар квадрат новой «мнимой единицы» можно взять^[1] как «+1» или даже «0», а также изменить (расширенный) закон умножения пар (см.Алгебры Клиффорда). Правда тогда норма и сопряжения (разного вида) нужно строить более сложно, также могут возникать и нетривиальные делители нуля.

Примечания

1. ↑ Albert A.A. «Quadratic forms permitting composition». Annals of Mathematics. Second Series, vol.43, pp.161–177

Ссылки

• On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem", 0003-486X, DOI 10.2307/1967865 
• HyperJeff Sketching the History of Hypercomplex Numbers 1996–2006
• И.Л.Кантор, А.С.Солодовников. Гиперкомплексные числа. - Москва, "Наука". - 1973.
• Е.А.Каратаев «Гиперкомплексные числа. Классификатор»