Пуассо́на пото́к (проце́сс), (устар. Пуассоновский процесс^[1]) — поток однородных событий, для которого число событий в интервале А не зависит от чисел событий в любых интервалах, не пересекающихся с А, и имеет экспоненциальное распределение^{[уточнить]} с параметром Λ(А). В теории случайных процессов описывает количество наступивших случайных событий, происходящих с постоянной интенсивностью.

Вероятностные свойства потока Пуассона полностью характеризуются функцией Λ(А), равной приращению в интервале А некоторой убывающей функции. Чаще всего поток Пуассона имеет мгновенное значение параметра λ(t) — функцию, в точках непрерывности которой вероятность события потока в интервале [t,t+dt] равна λ(t)dt. Если А — отрезок [a,b], то

Поток Пуассона, для которого λ(t) равна постоянной λ, называется простейшим потоком с параметром λ.^[2]

Потоки Пуассона определяются для многомерного и вообще любого абстрактного пространства, в котором можно ввести меру Λ(А). Стационарный поток Пуассона в многомерном пространстве характеризуется пространственной плотностью λ. При этом Λ(А) равна объему области А, умноженному на λ.

Классификация

Различают два вида процессов Пуассона: простой (или просто: процесс Пуассона) и сложный (обобщённый).

Простой процесс Пуассона

Пусть . Случайный процесс называется однородным Пуассоновским процессом с интенсивностью , если

1. почти наверное.
2. — процесс с независимыми приращениями.
3. для любых , где обозначает распределение Пуассона с параметром .

Сложный (обобщённый) Пуассоновский процесс

• Пусть последовательность взаимно независимых одинаково распределённых случайных величин.
• Пусть - простой пуассоновский процесс с интенсивностью , не зависящий от последовательности .

Обозначим через cумму первых k элементов введённой последовательности.

Тогда определим сложный Пуассоновский процесс как .

Свойства

• Пуассоновский процесс принимает только неотрицательные целые значения, и более того

.

• Траектории процесса Пуассона — кусочно-постоянные, неубывающие функции со скачками равными единице почти наверное. Более точно

при ,

где обозначает «о малое».

Критерий

Для того чтобы некоторый случайный процесс с непрерывным временем был Пуассоновским (простым, однородным) или тождественно нулевым достаточно выполнение следующих условий:

1. .
2. Процесс имеет независимые приращения.
3. Процесс однородный.
4. Процесс принимает целые неотрицательные значения.
5. при .

Информационные свойства

• Пусть — моменты скачков процесса Пуассона. .

Зависит ли от предыдущей части траектории?
— ?

Пусть .

.
Распределение длин промежутков времени между скачка́ми обладает свойством отсутствия памяти ⇔ оно показательно.

• Рассмотрим отрезок на временно́й оси.

— число скачков на отрезке .
Условное распределение моментов скачков совпадает с распределением вариационного ряда, построенного по выборке длины из .

Плотность этого распределения

ЦПТ

• Теорема.

Скорость сходимости:
,
где — константа Берри-Эссеена.

Применение

Поток Пуассона служит для моделирования различных реальных потоков: несчастных случаев, потока заряженных частиц из космоса, отказов оборудования и других. Так же возможно применение для анализа финансовых механизмов, таких как поток платежей и других реальных потоков. Для построения моделей различных систем обслуживания и анализа их пригодности.

Использование потоков Пуассона значительно упрощает решение задач систем массового обслуживания, связанных с расчетом их эффективности. Но необоснованная замена реального потока потоком Пуассона там, где это недопустимо, приводит к грубым просчетам.

Литература

• Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. — М.: Мир, 1986. — 528 с.
• ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. — М.: Высшая школа, 1990. — 376 с.
• Кингман Дж. Пуассоновские процессы. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.

Примечания

См. также

• Поток однородных событий
• Теория массового обслуживания