В дифференциальной геометрии, кривизна́ — собирательное название ряда количественных характеристик (скалярных, векторных, тензорных), описывающих отклонение того или иного геометрического «объекта» (кривой, поверхности, риманова пространства и т. д.) от соответствующих «плоских» объектов (прямая, плоскость, евклидово пространство и т. д.).

Обычно кривизна определяется для каждой точки на «объекте» и выражается как значение некоторого дифференциального выражения 2-го порядка. Иногда кривизна определяется в интегральном смысле, например, как мера, такие определения используют для «объектов» пониженной гладкости. Как правило, тождественное обращение в нуль кривизны во всех точках влечёт локальное совпадение изучаемого «объекта» с «плоским» объектом.

В этой статье приводятся только несколько простейших примеров определений понятия кривизны.

Кривизна кривой

Пусть  — регулярная кривая в -мерном евклидовом пространстве, параметризованная длиной. Тогда

называется кривизной кривой в точке , здесь обозначает вторую производную по . Вектор

называется вектором кривизны в точке .

Очевидно, это определение можно переписать через вектор касательной :

где одна точка над буквой означает первую производную по t.

Для кривой, заданной параметрически в общем случае кривизна отображается формулой

,

где и соответственно обозначают первую и вторую производную радиус-вектора в требуемой точке по параметру (при этом под крестом для кривой в трехмерном пространстве можно понимать векторное произведение, для кривой в двумерном пространстве — псевдоскалярное произведение, а для кривой в пространстве произвольной размерности — внешнее произведение).

Для кривой на декартовой плоскости, заданной уравнением , кривизна вычисляется по формуле:

Для того чтобы кривая совпадала с некоторым отрезком прямой или со всей прямой, необходимо и достаточно, чтобы кривизна (или вектор кривизны) тождественно равнялась нулю.

Величина, обратная кривизне кривой (), называется радиусом кривизны; он совпадает с радиусом соприкасающейся окружности в данной точке кривой. Центр этой окружности называется центром кривизны. Если кривизна кривой равна нулю, то соприкасающаяся окружность вырождается в прямую.

Кривизна поверхности

Пусть есть регулярная поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве. Пусть  — точка ,  — касательная плоскость к в точке ,  — единичная нормаль к в точке , а — плоскость, проходящая через и некоторый единичный вектор в . Кривая , получающаяся как пересечение плоскости с поверхностью , называется нормальным сечением поверхности в точке в направлении . Величина

где обозначает скалярное произведение, а  — вектор кривизны в точке , называется нормальной кривизной поверхности в направлении . С точностью до знака нормальная кривизна равна кривизне кривой .

В касательной плоскости существуют два перпендикулярных направления и такие, что нормальную кривизну в произвольном направлении можно представить с помощью так называемой формулы Эйлера:

где  — угол между и , a величины и нормальные кривизны в направлениях и , они называются главными кривизнами, а направления и  — главными направлениями поверхности в точке . Главные кривизны являются экстремальными значениями нормальных кривизн. Структуру нормальных кривизн в данной точке поверхности удобно графически изображать с помощью индикатрисы Дюпена.

Величина

, (иногда )

называется средней кривизной поверхности. Величина

называется гауссовой кривизной поверхности.

Гауссова кривизна является объектом внутренней геометрии поверхностей, в частности не изменяется при изометрических изгибаниях.

См. также

• Аффинная кривизна
• Дифференциальная геометрия кривых
• Дифференциальная геометрия поверхностей
• Поверхность
• Тензор кривизны
• Форма кривизны

Литература

• Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия (6-е издание). М.: Наука, 1974.
• Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии (3-е издание). М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.