Спин-орбитальное взаимодействие

25-06-2023

Спин-орбитальное взаимодействие — в квантовой физике взаимодействие между движущейся частицей и её собственным магнитным моментом, известным как спин. Наиболее часто встречающимся примером такого взаимодействия является взаимодействие электрона, находящегося на одной из орбит в атоме, с собственным спином. Такое взаимодействие, в частности, приводит к возникновению так называемой тонкой структуры энергетического спектра электрона и расщеплению спектроскопических линий атома.

Содержание

Вывод гамильтониана спин-орбитального взаимодействия

Спин-орбитальное взаимодействие является релятивистским эффектом, поэтому для вывода части гамильтониана отвечающему данному взаимодействию, следует отталкиваться от уравнения Дирака с учтённым в гамильтониане вкладом от внешнего электромагнитного поля с вектор потенциалом A и скалярным потенциалом φ, для чего в уравнении Дирака, согласно лагранжеву формализму[1], нужно произвести замену и . В итоге уравнение Дирака принимает вид:

,

где \beta = \begin{pmatrix} \mathbf 1 & 0 \\ 0 & -\mathbf 1\\ \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol \alpha = \begin{pmatrix} 0 & \boldsymbol \sigma \\ \boldsymbol \sigma & 0\\ \end{pmatrix}

 — матрицы Паули

\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}, \quad \ \mathbf 1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}.

Из данного Гамильтониана видно, что волновая функция ψ должна быть четырёхкомпонентной, причём известно, что две её компоненты соответствуют решениям с положительной энергией, а две — с отрицательной. Роль решений с отрицательной энергией мала при рассмотрении вопросов связанных с магнитными явлениями, поскольку дырки в спектре отрицательной энергии соответствуют позитронам, для образования которых нужна энергия порядка , что значительно превышает энергию связанную с магнитными явлениями. В связи с вышесказанным, удобно воспользоваться каноническим преобразованием Фолди и Ваутхайзена[2] , которое разбивает уравнение Дирака на пару двухкомпонентных уравнений. Одно из которых описывает решения с отрицательной энергией, а другое с положительной и имеет Гамильтониан следующего вида:

Члены заключённые в фигурные скобки, характеризуют спин-орбитальное взаимодействие. В частности, если электрическое поле центрально-симметричное, то имеем и Гамильтониан спин-орбитального взаимодействия принимает вид:

\mathcal H_{so}= - { \frac{e \hbar}{4 m^2 c^2}}{\boldsymbol \sigma} \cdot {\mathbf E} \times {\mathbf p} = {\frac{\hbar}{4 m^2 c^2}} {\frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial r}} {\boldsymbol \sigma} \cdot {\mathbf r} \times {\mathbf p} = {\frac{\hbar}{4 m^2 c^2}} {\frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial r}} {\boldsymbol \sigma} \cdot {\mathbf L},

где  — оператор углового момента электрона.

Данный результат согласуется с классическим выражением, описывающим взаимодействие спина электрона с полем обусловленным орбитальным движением электрона. Поясним это.

Классическое выражение энергии спин-орбитального взаимодействия для атомарного электрона

Пусть электрон движется равномерно и прямолинейно со скоростью v в поле ядра, помещённого в начале системы координат 1 и которое создаёт кулоновское поле . В системе координат 2, связанной с движущимся электроном, наблюдатель будет видеть движущееся ядро, которое создает как электрическое, так и магнитное поле, с напряженностью E' и H', соответственно. Как следует из теории относительности E' и H' связаны с Е следующими соотношениями:

Где отброшены члены порядка

Тогда уравнение изменения спинового момента количества движения (связанного, согласно гипотезе Уленбека — Гаудсмита, гиромагнитным отношением с магнитным моментом , как ) в системе координат 2 будет иметь вид:

Это уравнение соответствует взаимодействию спина электрона с электромагнитным полем, которое описывается Гамильтонианом следующего вида:

Заметим, что вид гамильтониана с точность до множителя 1/2 совпадает с видом спин-орбитальной части Гамильтониана полученного из уравнения Дирака с помощью преобразования Фолди и Ваутхайзена. Отсутствие этого множителя связано с тем, что уравнение изменения магнитного момента электрона будет верно только в том случае, если система 2 не будет вращающейся, в противном случае это уравнение, из-за прецессии Томаса, должно иметь вид

где  — томосовская угловая скорость вращения.

Электрон в атоме ускоряется экранированным кулоновским полем поэтому томосовская угловая скорость описывается соотношением

Таким образом Гамильтониан спин-орбитального взаимодействия будет иметь вид:

Что в точности совпадает с ранее полученным результатом.

Примечания

  1. ↑ Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7
  2. ↑ L.L.Foldy, and S.A.Wouthuysen . — Phys.Rev. 78, 29, 1950.

См. также

Литература

  • Степанов Н. Ф. Квантовая механика и квантовая химия. — М.: Мир, 2001. — С. 391—398. — 519 с. — 5000 экз. — ISBN 5-03-003414-5
  • Уайт Р. Квантовая теория магнетизма. Пер. с англ. 2-е изд., испр. и. доп. — М.: Мир, 1985. — 304 с.
  • Бьёркен Дж. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория. Том 2. — ИО НФМИ, 2000. — 296 с.
  • Джексон Дж. Классическая электродинамика. — М.: Мир, 1965. — 703 с.


Спин-орбитальное взаимодействие.

© 2011–2023 stamp-i-k.ru, Россия, Барнаул, ул. Анатолия 32, +7 (3852) 15-49-47