Сумма числового ряда определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае — что он расходится^[1]. Элементы ряда представляют собой комплексные числа (в частности, вещественные).

Определение

Пусть  — числовой ряд. Число называется n-ой частичной суммой ряда .

Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм , если он существует и конечен. Таким образом, если существует число , то в этом случае пишут . Такой ряд называется сходящимся. Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

Сходимость числовых рядов

Свойство 1. Если ряд

  (1.1)

сходится и его сумма равна S, то ряд

 (1.2)

где c — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.1) расходится и с ≠ 0, то ряд расходится.

Свойство 2. Если сходится ряд (1.1) и сходится ряд

,

а их суммы равны и соответственно, то сходятся и ряды

,

причём сумма каждого равна соответственно .

Необходимый признак сходимости ряда

Ряд   может сходиться лишь в том случае, когда член (общий член ряда) стремится к нулю:

Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!). Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.

Примеры

• где  — сумма геометрической прогрессии, в частности
• .
•  — гармонический ряд расходится.
•  — телескопический ряд.

См. также

• Действия с числовыми рядами

Обобщения числовых рядов

• Ряд Тейлора
• Ряд Фурье
• Степенной ряд
• Функциональный ряд.

Признаки сходимости

• Логарифмический признак сходимости
• Признак Абеля
• Признак Гаусса
• Признак Дирихле
• Признак Ермакова
• Признак Лобачевского
• Признак Раабе
• Признак сходимости д’Аламбера
• Признаки Коши:
  • Радикальный признак Коши
  • Интегральный признак Коши
• Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — 12-е изд. — М.: Наука, 1977.
• Письменный Д. Т. Часть 2 // Конспект лекций по высшей математике. — 6-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2008.
• Савельева Р. Ю. Высшая математика. Теория рядов.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. — Т. 2. — 680 с. — ISBN 5-9221-0155-2

Примечания