Сфера Пуанкаре — пример гомологической трёхмерной сферы, то есть, трёхмерное многообразие, все гомологические группы которого совпадают с гомологическими группами трёхмерной сферы.

Пример был построен Пуанкаре. Этот пример показывает, что условие на фундаментальную группу в гипотезе Пуанкаре не может быть ослаблено до условия на группы гомологий.

Построения

• Сфера Пуанкаре может быть получена из додекаэдра склеиванием каждой грани с противоположной, повёрнутой на угол по часовой стрелке.

• Сфера Пуанкаре может быть так же получена как фактор группы вращений по группе икосаэдра: SO(3)/I.

• Сфера Пуанкаре может быть так же получена из трёхмерной сферы перестройкой Морса вдоль трилистника.

Свойства

• Сфера Пуанкаре единственная гомологическая трёхмерная сфера отличная от стандартной сферы и имеющая конечную фундаментальную группу.
• Надстройка сферы Пуанкаре является четырёхмерным гомологическим многообразием, но не топологическим многообразием.
• Двойная надстройка сферы Пуанкаре гомеоморфна стандарной пятимерной сфере.

Литература

• Poincaré’s homology sphere на Manifold Atlas Project