Тест Вальда (англ. Wald test) — статистический тест, используемый для проверки ограничений на параметры статистических моделей , оцененных на основе выборочных данных. Является одним из трех базовых тестов проверки ограничений наряду с тестом отношения правдоподобия и тестом множителей Лагранжа. Тест является асимптотическим, то есть для достоверности выводов требуется достаточно большой объем выборки.

Сущность и процедура теста

Пусть имеется эконометрическая модель с вектором параметров . Необходимо проверить по выборочным данным гипотезу , где g-совокупность (вектор) некоторых функций параметров. Идея теста заключается в том, что если нулевая гипотеза верна, то и выборочный вектор должен быть в некотором смысле близок к нулю. Предполагается, что оценки параметров хотя бы состоятельны и асимптотически нормальны (таковы, например, оценки метода максимального правдоподобия),то есть

где - якобиан (матрица первых производных) вектора g(b) в точке b.

Тогда

Это и есть статистика Вальда. Поскольку ковариационная матрица , вообще говоря, на практике неизвестна, то вместо нее используется некоторая ее оценка. Также вместо неизвестных истинных значений коэффициентов используют их оценки . Следовательно на практике мы получаем приблизительное значение вышеуказанной величины.

Если эта статистика больше критического значения при данном уровне значимости , то гипотеза об ограничениях отвергается в пользу модели без ограничений ("длинная модель"). В противном случае ограничения могут иметь место и лучше построить модель с ограничениями, называемую "короткой моделью".

Необходимо отметить, что тест Вальда чувствителен к способу формулировки нелинейных ограничений. Например, простое ограничение равенства двух коэффициентов можно сформулировать как равенство их отношения единице. Тогда результаты теста теоретически могут быть разными, несмотря на то, что гипотеза одна и та же.

Частные случаи

Если функции g-линейны, то есть проверяется гипотеза следующего вида , где A-некоторая матрица ограничений, a-некоторый вектор, то матрица G(b) в данном случае - это фиксированная матрица A. Если речь идет о классической линейной модели регрессии, то ковариационная матрица оценок коэффициентов равна . Поскольку дисперсия ошибок неизвестна, то используют либо ее состоятельную оценку , либо несмещенную оценку . Следовательно, статистика Вальда тогда имеет вид:

В частном случае, когда матрица ограничений единичная (то есть проверяются равенства коэффициентов некоторым значениям), то формула упрощается:

Если рассматривается только одно линейное ограничение , то статистика Вальда будет равна

В данном случае статистика Вальда оказывается равной квадрату -статистики.

Можно показать, что статистика Вальда для классической линейной модели выражается через суммы квадратов остатков длинной и короткой моделей следующим образом

Здесь индекс L относится к длинной модели (long), а S-к короткой (short). Если используется несмещенная оценка дисперсии ошибок, то в формуле вместо необходимо использовать .

В частности, для проверки значимости регрессии в целом , поэтому получаем следующую формулу для статистики Вальда

где - коэффициент детерминации.

Взаимосвязь с другими тестами

Доказано, что тест Вальда (W), тест отношения правдоподобия (LR) и тест множителей Лагранжа (LM)- асимптотически эквивалентные тесты (). Тем не менее для конечных выборок значения статистик не совпадают. Для линейных ограничений доказано неравенство . Тем самым тест Вальда будет чаще других тестов отвергать нулевую гипотезу об ограничениях. В случае нелинейных ограничений первая часть неравенства выполняется, а вторая - вообще говоря, нет.

Вместо теста Вальда можно использовать F-тест, статистика которого рассчитывается по формуле:

или еще проще , если при расчете статистики Вальда использовалась несмещенная оценка дисперсии. Эта статистика имеет в общем случае асимптотическое распределение Фишера . В случае нормального распределения данных - то и на конечных выборках.

Литература

• Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. — М.: Дело, 2004. — 576 с.
• William H. Greene Econometric analysis. — New York: Pearson Education, Inc., 2003. — 1026 с.