04-07-2023
Функция «вопросительный знак» Минковского — построенная Германом Минковским монотонная сингулярная функция на отрезке , обладающая рядом замечательных свойств. Так, она взаимно-однозначно и с сохранением порядка переводит квадратичные иррациональности (то есть, числа вида где и рациональные) на отрезке в рациональные числа на том же отрезке, а рациональные числа — в двоично-рациональные. Она связана с рядами Фарея, цепными дробями, и дробно-линейными преобразованиями, а её график обладает рядом интересных симметрий.
Содержание |
Функция Минковского может быть задана несколькими эквивалентными способами: через ряды Фарея, через цепные дроби, и построением графика с помощью последовательных итераций.
В концах отрезка функция Минковского задаётся как и . После этого, для любых двух рациональных чисел и , для которых — иными словами, для любых двух последовательных в каком-либо из рядов Фарея, — функция в их медианте определяется как среднее арифметическое значений в этих точках:
Так,
и так далее.
Поскольку последовательности
в которых следующая получается из предыдущей дописыванием между каждыми соседними её элементами их медианты, перечисляют в объединении все рациональные числа отрезка (см. дерево Штерна — Броко) — такая итеративная процедура задаёт функцию Минковского во всех рациональных точках . Более того, как несложно видеть, множеством её значений в этих точках оказываются в точности все двоично-рациональные числа — иными словами, плотное в множество. Поэтому построенная функция по монотонности однозначно продолжается до непрерывной функции — и это и есть функция Минковского.
Функция Минковского, в определённом смысле, преобразует разложение в цепную дробь в представление в двоичной системе счисления. А именно, точку , раскладывающуюся в цепную дробь как , функция Минковского переводит в
Иными словами, точка
переходит в точку
Пусть точка задаётся цепной дробью . Тогда увеличение на единицу, то есть, переход к задаётся отображением
а функция Минковского после такого преобразования делится (как это следует из её задания через цепную дробь аргумента) пополам:
С другой стороны, из симметрии относительно медиантной конструкции легко видеть, что
Сопрягая (1) с помощью (2), видим, что под действием отображения функция Минковского преобразуется как
Поэтому график функции Минковского переводится в себя каждым из преобразований
Более того, объединение их образов — это в точности весь исходный график, поскольку образ — это часть графика над отрезком , а образ — график над отрезком .
График функции Минковского может быть построен, как предельное множество для системы итерируемых функций (англ.). А именно, отображения и , заданные (3), сохраняют график функции Минковского и переводят единичный квадрат внутрь себя. Поэтому, последовательность множеств , определённая рекурсивно как
— это убывающая по вложению последовательность множеств, причём график функции Минковского содержится в любом из них.
Несложно увидеть, что является объединением прямоугольников высоты , поэтому предельное множество
является графиком некоторой функции. Поскольку , то они совпадают. Поэтому, график функции Минковского — это предельное множество системы итерируемых функций
Функция Минковского.
