Гамильтониа́н ( или H) в квантовой теории — оператор полной энергии системы (ср. Функция Гамильтона). Название «гамильтониан», как и название «функция Гамильтона», происходит от фамилии ирландского математика Уильяма Роуэна Гамильтона.

Его спектр — это множество возможных значений, при измерении полной энергии системы. Спектр гамильтониана может быть дискретным или непрерывным. Также может быть ситуация (например для Кулоновского потенциала) когда спектр состоит из дискретной и непрерывной части.

Так как энергия — вещественная величина, гамильтониан является эрмитовым оператором.

Уравнение Шрёдингера

Гамильтониан генерирует временную эволюцию квантовых состояний. Если состояние системы в момент времени t, то

Это уравнение называется уравнение Шрёдингера. (Оно выглядит также как и уравнение Гамильтона — Якоби классической механики). Зная состояние в начальный момент времени (t = 0), мы можем решить уравнение Шрёдингера и получить вектор состояния в любой последующий момент времени. В частности, если H не зависит от времени, то

Оператор экспоненты в правой части уравнения Шрёдингера определяется через степенной ряд по H.

По свойству *-гомоморфизму, оператор

унитарен. Это оператор временной эволюции, или пропагатор замкнутой квантовой системы.

Если Гамильтониан не зависит от времени, {U(t)} образует однопараметрическую группу; отсюда следует принцип детального равновесия.

Выражения для Гамильтониана

Свободная частица

Если у частицы нет потенциальной энергии, то Гамильтониан самый простой. Для одного измерения:

и для трёх измерений:

Потенциальная яма

Для частицы в постоянном потенциале V = V₀ (нет зависимости от координаты и времени), в одном измерении, Гамильтониан такой:

в трёх измерениях

Простой гармонический осциллятор

Для простого гармонического осциллятора в одном измерении, потенциал зависит от координаты (но не от времени), как:

где угловая частота, коэффициент упругости k, и масса m осциллятора удовлетворяют соотношению:

поэтому Гамильтониан имеет вид:

Для трёх измерений гамильтониан принимает вид

где трёхмерный радиус-вектор r, его модуль определяется так:

Полный Гамильтониан это сумма одномерных Гамильтонианов:

В квантовой теории поля

В классической теории поля роль обобщённых координат играют функции поля в каждой точке пространства-времени; в квантовой теории поля они становятся операторами. Для системы взаимодействующих полей гамильтониан представляет собой сумму операторов энергии свободных полей и энергию их взаимодействия. В отличие от лагранжиана, гамильтониан не даёт явно релятивистски-инвариантного описания системы — энергия в разных инерциальных системах отсчёта различна, хотя для релятивистских систем эта инвариантность может быть доказана.

Ссылки

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Физматлит, 2008. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — 3000 экз. — ISBN 978-5-9221-0530-9