01-09-2023
Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее переменную величину , искомую функцию и её производные, то есть соотношение вида:
Дифференциальные уравнения находят широчайшее применение в различных областях науки и техники. Они возникают при решении задач, когда устанавливается взаимосвязь между функцией от переменной и её производными.
Содержание |
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка следующего вида
где и – неизвестные функции от , причём считаем, что функция отлична от . Такого вида уравнение называют уравнением Лагранжа. Оно является линейным относительно переменных и .
Такое дифференциальное уравнение приходиться решать, как говорят, методом введения вспомогательного параметра. Найдём его общее решение, введя параметр . Тогда уравнение запишется:
Замечая, что продифференцируем обе части этого уравнения по . Пишем:
Преобразуем его в вид
Уже сейчас из этого уравнения можно найти некоторые решения, если заметить, что оно обращается в верное равенство при всяком постоянном значении , удовлетворяющему условию . В самом деле, при любом постоянном значении , производная тождественно обращается в нуль и тогда обе части уравнения можно приравнять к нулю.
Решение, соответствующее каждому значению , то есть, , является линейной функцией от , поскольку производная , постоянна только у линейных функций. Чтобы найти эту функцию, достаточно подставить в равенство значение , то есть
.
Если окажется, что это решение не получается из общего ни при каком значении произвольной постоянной, то оно будет являться особым решением.
Найдём теперь общее решение. Для этого запишем уравнение в виде
и будем считать , как функцию от . Тогда полученное уравнение есть не что иное как линейное дифференциальное уравнение относительно функции от . Решая его, найдём
Исключая параметр из уравнений и найдём общий интеграл уравнения в виде
.
Рассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида
Такое уравнение носит название уравнения Клеро.
Легко видеть, что уравнение Клеро — частный случай уравнения Лагранжа, когда . Интегрируется оно так же путём введения вспомогательного параметра. Найдём его решение.
Положим . Тогда пишем:
Продифференцируем это уравнение по , так же, как это делали с уравнением Лагранжа, замечая, что , пишем
Преобразуем его в вид
Приравнивая каждый множитель к нулю, получим
и
Интегрируя уравнение получим . Подставим значение в уравнение найдём его общий интеграл
С геометрической точки зрения, этот интеграл представляет собой семейство прямых линий. Если из уравнения найдём как функцию от , затем подставим её в уравнение , то получим функцию
Которая, как легко показать, является решением уравнения . Действительно, в силу равенства находим
Но поскольку , то . Поэтому подставляя функцию в уравнение , получаем тождество
.
Решение не получается из общего интеграла ни при каком значении произвольной постоянной . Это решение — есть особое решение, которое получается вследствие исключения параметра из уравнений
и
или, что без разницы, исключением из уравнений
и
Следовательно, особое решение уравнения Клеро, определяет огибающую семейства прямых, заданных общим интегралом .
К уравнению Клеро приводят геометрические задачи, где требуется определить кривую, по заданному свойству её касательной, причём это свойство должно относится к самой касательной, а не к точке касания. В самом деле, уравнение касательной имеет вид
или
Любое свойство касательной выражается соотношением между и :
Решая его относительно , придём к уравнению вида
, то есть ни к чему иному, как к уравнению Клеро.
В.И. Смирнов "Курс высшей математики", том второй, издательство "Наука", Москва 1974.
Н.С. Пискунов "Дифференциальное и интегральное исчисление", том второй, издательство "Наука", Москва 1985
К.Н. Лунгу, В.П. Норин и др. "Сборник задач по высшей математике", второй курс, Москва: Айрис-пресс, 2007
Дифференциальные уравнения Лагранжа и Клеро.