Абстра́ктная а́лгебра (также вы́сшая а́лгебра или о́бщая а́лгебра) — раздел математики, изучающий алгебраические системы (также иногда называемые алгебраическими структурами), такие как группы, кольца, поля, частично упорядоченные множества, решётки, а также отображения между такими структурами.

Исторически алгебраические структуры возникали вначале в других областях математики. После абстрагирования от деталей, присущих определенному разделу математики, и выделения аксиоматических определений они становились предметом изучения абстрактной алгебры. Именно поэтому абстрактная алгебра находит многочисленные применения в большинстве других областей математики.

Примерами алгебраических структур с бинарной операцией являются

• полугруппы
• моноиды
• группы
• квазигруппы

Все они возникли как результат обобщения свойств обычных операций умножения и сложения на числах.^{[источник не указан 1175 дней]}

Более сложными примерами алгебраических структур являются

• кольца и поля
• модули и векторные пространства
• ассоциативные алгебры и алгебры Ли
• решётки и булевы алгебры

Группы и отображения между ними, называемые гомоморфизмами, изучаются в теории групп. Векторные пространства и линейные отображения между ними изучаются в разделе под названием линейная алгебра. Алгебраические уравнения высших порядков от одной переменной, а также, более общо, свойства групп автоморфизмов различных алгебраических систем есть предмет теории Галуа.

Общие для всех этих алгебраических систем свойства собираются и изучаются теорией категорий. Эта теория доставляет формальные средства для сравнения алгебраических структур и изучения соответствий между ними.

Некоторые важные понятия

• полугруппа
• моноид
• группа
• подгруппа
• гомоморфизм
• действие группы
• прямое произведение групп
• нормальная подгруппа
• факторгруппа
• центр группы
• абелева группа
• разрешимая группа
• нильпотентная группа
• кольцо
• поле
• идеал
• алгебраическое расширение
• характеристика поля
• модуль над кольцом
• векторное пространство
• линейное отображение
• тензорное произведение
• циклическая группа
• конечная группа
• группа перестановок
• решётка

См. также

• Словарь терминов теории групп
• Таблица обозначений абстрактной алгебры

Литература

• Кострикин А. И. Введение в алгебру. В 3-х тт. — М.: Физматлит, 2001.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.
• ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1979.
• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал, 2001. — 544 с.
• Винберг Э. Б. Начала алгебры. — М.: МЦНМО, МК НМУ, УРСС, 1998. — 192 с.
• Зарисски О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. Т. 1. — М.: ИЛ, 1963. — 373 с.
• Зарисски О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. Т. 2. — М.: ИЛ, 1963. — 438 с.
• Курош А. Г. Общая алгебра.
• Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. 2-е изд. — М.: Физматлит, 1973.
• Курош А. Г. Теория групп. 3-е изд. — М.: Физматлит, 1967.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — М.: Наука, 1984. — 416 с.
• Фейс К. Алгебра. Кольца, модули, категории. Т. 1. — М.: Мир, 1977. — 688 с.
• Фейс К. Алгебра. Кольца, модули, категории. Т. 2. — М.: Мир, 1979. — 464 с.
• Шафаревич И. Р. Основные понятия алгебры. — Ижевск, 1999. — 348 с.
• Михалёв А. В., Михалёв A. A. Начала алгебры. — М.: Интернет ун-т инф. тех., 2005. — 144 с.
• Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру. — М.: Физматлит, 1979. — 260 с.
• Бурбаки Н. Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра. — М.: Физматгиз, 1962. — 516 с.
• Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порождённые отображениями системы корней. — М.: Мир, 1972.
• Atiyah M. F., Macdonald I. G. Introduction to Commutative Algebra.
• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М: Мир, 1972.