Специальные функции — встречающиеся в различных приложениях математики (чаще всего — в различных задачах математической физики) функции, которые не выражаются через элементарные функции. Специальные функции представляются в виде рядов или интегралов.
Специальные функции возникают обычно из следующих соображений:
- «неберущиеся» интегралы;
- решения трансцендентных уравнений, не выражающиеся в элементарных функциях;
- решения дифференциальных уравнений, не выражающиеся в элементарных функциях;
- ряды, не сходящиеся к элементарным функциям;
- математическое выражение свойств чисел;
- необходимость задания функции с необычными свойствами.
Эта разделение не является строгим, поскольку, например, большинство неэлементарных решений дифференциальных уравнений удалось выразить через неберущийся интеграл или в виде ряда. Поэтому не существует строгой классификации трансцендентных функций
Большинство специальных функций являются трансцендентными.
Функции-интегралы
К таким специальным функциям относятся: бета-функция, гамма-функция, интегральный логарифм, интеграл вероятности, интегральный синус, интегральный косинус, эллиптические функции.
Функции-ряды
К таким функциям относятся гипергеометрическая функция, дзета-функция.
Неэлементарные решения дифференциальных уравнений
К таким специальным функциям относятся: сферические функции, цилиндрические функции, функции Эйри, функции параболического цилиндра,функции Матьё.
Необычные функции
Существует много функций с необычным поведением, придуманных для различных целей. Это функция Дирихле, функция Хевисайда.
Функции, выражающие свойства чисел
Эти функции обычно связаны с простейшими свойствами чисел. Сюда прежде всего можно отнести специальные арифметические функции, модуль, знак числа, факториал.
См. также
Литература
- Математический энциклопедический словарь, — Любое издание.
- Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции, — М.: Наука, 1978.
- Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. — М.: Наука, 1965. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Higher transcendental functions. Vol. 1 — 1953.
- Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. — М.: Наука, 1966. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Higher transcendental functions. Vol. 2 — 1953.
- Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. — М.: Наука, 1967. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Higher transcendental functions. Vol. 3 — 1955.
- Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований: Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. — М.: Наука, 1969. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Tables of integral transforms. Vol. 1 — 1954.
- Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований: Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций. — М.: Наука, 1970. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Tables of integral transforms. Vol. 2 — 1954.
Ссылки
- О. М. Киселёв. Зоопарк чудовищ или знакомство со специальными функциями.
- Ф. Олвер. Введение в асимптотические методы и специальные функции.
- EqWorld.
- Bateman Manuscript Project
- Biographies: Harry Bateman
- Biographies: Arthur Erdélyi
- Высшие трансцендентные функции