Счёты (русские счёты) — простое механическое устройство для произведения арифметических расчётов, усовершенствованный аналог римского абака, являются одним из первых вычислительных устройств.

Счёты представляют собой раму с нанизанными на спицы костяшками, обычно по 10 штук.^[1]

Русские счёты появились на рубеже XV — XVI веков и вплоть до XX века массово использовались в торговле и бухгалтерском деле для арифметических расчётов. В конце XX века их заменили электронные калькуляторы.

Система счисления и система кодирования

В русских счётах применяется десятичная система счисления с унарным кодированием (Unary Coded Decimal, UCD).

Каждый ряд костяшек представляет собой числовой разряд, причём вверх от прута с четырьмя костяшками разряд возрастает от единиц до сотен тысяч, а вниз — уменьшается от десятых до тысячных. Максимальное значение для каждого ряда — десять, умноженное на вес разряда (для разряда единиц максимальное значение — 10, если все костяшки отложены влево, для десятков — 100 и так далее). «Набор» числа осуществляется сдвиганием костяшек из правого края прута в левый.

Прут, на котором находятся всего 4 костяшки, использовался для расчётов в полушках. 1 полушка была равна половине деньги, то есть четверти копейки, соответственно, четыре костяшки составляли одну копейку^[2]. Также этот прут использовался для перевода фунтов в пуды (1 пуд = 40 фунтов). Также этот прут может служить разделителем целой и дробной частей набранного на счётах числа, и в вычислениях не использоваться.

Таким образом, максимальное число, которое можно набрать на счётах с семью рядами целых чисел, составляет 11`111`111,110.

После добавления к девяти костяшкам одного разряда десятой костяшки производится операция записи единицы переноса в следующий разряд, состоящая из трёх действий:

1. сдвигом влево одной костяшки к девяти костяшкам добавляется десятая костяшка;
2. сдвигом вправо всех десяти костяшек предыдущий разряд обнуляется;
3. сдвигом влево одной костяшки в следующий разряд записывается единица переноса.

Выполнением этого правила исключается любое неоднозначное представление чисел. С точки зрения теории систем счисления для действий в показательной единично кодированной десятичной позиционной системе счисления достаточно девяти костяшек, о чём пишет и Я. И. Перельман^[3], при этом операция записи единицы переноса производилась бы за два действия вместо трёх действий:

1. сдвигом влево одной костяшки в следующий разряд записывается единица переноса;
2. сдвигом вправо девяти костяшек предыдущий разряд обнуляется;

но для удобства счета (в частности, чтобы удобно получать дополнение до 10, необходимое для переноса разряда при вычитании) в русских счётах было выбрано число костяшек равное десяти, что формально соответствует единичнокодированной одиннадцатиричной системе счисления.

Правила счёта

Общие замечания

Теоретически, с помощью счёт можно выполнять все четыре базовые арифметических операции в пределах разрядности счёт. Однако на практике удобно и быстро на счётах можно только складывать и вычитать; операция умножения на произвольное число достаточно сложна, а деление в общем виде, скорее всего, займёт больше времени, чем выполнение той же операции на бумаге (с помощью известного алгоритма «деления столбиком»). Впрочем, есть достаточно большое количество специальных случаев, когда счёты вполне применимы для умножения и деления.

Кроме того, нужно учитывать следующие моменты:

• Счёты в принципе не предназначены для манипуляций с отрицательными числами. Поэтому любые операции должны приводиться к положительным числам, а знак, если это необходимо, должен просто учитываться отдельно.
• В операциях умножения и деления учитывать положение десятичного разделителя для обоих операндов достаточно неудобно. Вследствие этого при выполнении умножения и деления десятичных дробей либо только второй, либо оба операнда приводятся к целому числу, то есть десятичный разделитель в них просто игнорируется. После выполнения операции положение десятичного разделителя восстанавливается вручную.

«Набор» числа

Представление чисел на счётах и порядок набора описан выше. Здесь необходимо лишь отметить, что правило расположения разрядов числа на проволоках (то есть помещение единичного разряда непременно перед проволокой с четырьмя косточками) в практических расчётах часто бывает необязательно соблюдать. Более того, в процессе расчётов бывает удобно иногда вместо перенабора числа просто мысленно перенести разделитель целой и дробной части на другое место.

В некоторых руководствах по вычислениям на счётах рекомендуется следующее «усовершенствование»: просверлить в раме счётов слева ряд небольших отверстий, расположенных напротив промежутков между проволоками. При расчётах какой-либо предмет (гвоздик, разогнутая скрепка и т. п.) помещается в отверстие, находящееся напротив промежутка, в данный момент разделяющего единицы и десятые доли. Таким образом в любой момент положение десятичного разделителя явно отмечено и может быть легко изменено.

Сложение

Сложение на счётах выполняется «снизу вверх» (от младших разрядов к старшим). На счётах «набирается» первое слагаемое, после чего поразрядно, от младшего разряда к старшему, производятся следующие действия:

1. На проволоке, соответствующей разряду, перебрасывается влево столько косточек, сколько единиц в соответствующем разряде второго слагаемого.
2. Если на проволоке не хватает косточек для выполнения первого действия, то на проволоке слева оставляется столько косточек, сколько не хватило, а на следующей (находящейся выше) проволоке перебрасывается влево одна косточка.
3. Если в результате действия (как первого, так и второго, и данного) слева на проволоке оказалось 10 косточек, то все косточки на этой проволоке перебрасываются вправо, а на следующей (находящейся выше) проволоке дополнительно перебрасывается влево одна косточка.

После того, как будут выполнены действия со всеми разрядами, «набранное» на счётах число и будет результатом сложения.

Вычитание

Вычитание на счётах выполняется «сверху вниз», то есть от старших разрядов к младшим. В силу неприспособленности счётов для работы с отрицательными числами всегда нужно из большего положительного числа вычитать меньшее положительное число. Если требуется вычесть из меньшего большее, числа следует поменять местами и оставить знак «в уме».

На счётах «набирается» уменьшаемое, после чего поразрядно, от старшего разряда к младшему, производятся следующие действия:

1. На проволоке, соответствующей разряду, перебрасывается вправо столько косточек, сколько единиц в соответствующем разряде вычитаемого.
2. Если на проволоке не хватает косточек для выполнения первого действия, производится перенос разряда: слева оставляется (10 — n) косточек, где n — «недостающее» число косточек (чтобы не делать второе вычитание в уме, можно весь десяток косточек на данной проволоке перенести влево, после чего отбросить недостающее число косточек), а на находящейся выше проволоке отбрасывается вправо одна косточка
3. Если при переносе на проволоке, соответствующей старшему разряду, не хватает косточек, то выполняется перенос в следующий (ещё более старший) разряд и так до тех пор, пока на одной из проволок не окажется достаточного количества косточек. Так, например, при вычитании (1001 — 3) сначала на проволоке младшего разряда будет оставлено 8 косточек и потребуется перенос во второй разряд, затем — в третий, и только после этого на проволоке четвёртого разряда окажется достаточно косточек, чтобы завершить операцию.

Умножение

Умножение на однозначное число в общем случае может быть заменено на сложение множимого с самим собой соответствующее количество раз. Целые многозначные числа перемножаются поразрядно, аналогично «умножению в столбик»:

• В качестве множимого выбирается то из двух чисел, которое содержит больше ненулевых цифр.
• Множимое прибавляется к самому себе столько раз, сколько единиц в младшем (первом) разряде множителя.
• Для каждого следующего разряда множителя множимое прибавляется к уже имеющемуся на счётах числу соответствующее количество раз, но со сдвигом на один разряд вверх. То есть для разряда десятков сложение производится со сдвигом на один разряд, сотен — на два и так далее.
• Если в соответствующем разряде множителя стоит нуль, то, естественно, никакого сложения не производится, а просто делается сдвиг на одну проволоку вверх и переход к следующему разряду.
• Когда будут произведены прибавления для всех ненулевых разрядов множителя, на счётах будет получен результат умножения. Положение десятичного разделителя при этом нужно учитывать в той позиции, где он был при первых сложениях (то есть сдвиги десятичного разделителя учитываются только в промежуточных операциях).

Если перемножаются нецелые числа, то операция выполняется точно так же (вычисления ведутся с целыми числами, десятичные разделители просто игнорируются). Десятичный разделитель ставится в нужную позицию вручную при записи результата.

Несмотря на громоздкость алгоритма, при выработанном навыке выигрыш времени по сравнению с расчётом на бумаге может быть значительным.

Деление

Деление в общем виде заменяется вычитанием. Общий алгоритм деления целых чисел выглядит следующим образом:

• Делимое набирается на счётах в нижней их части.
• Из старших разрядов делимого выбирается группа такого размера, чтобы составленное ею число было больше делителя, но меньше делителя, умноженного на десять. Десятичный разделитель мысленно переносится за младший разряд этой группы.
• Из набранного числа (с учётом поставленного разделителя) делитель вычитается до тех пор, пока уменьшаемое не станет меньше делителя. При каждом успешном вычитании на верхней проволоке счёт переносится влево одна косточка.
• По завершении вычитания десятичный разделитель мысленно передвигается на одну проволоку вниз. Далее вычитание делителя повторяется для нового уменьшаемого, а результат заносится на следующую (вторую, далее — третью и т. д.) проволоку.
• Предыдущий пункт повторяется до тех пор, пока не закончится набранное на счётах число, либо пока не будет получено нужное число цифр результата.
• На верхних проволоках по завершении всех операций будет набран результат деления. Положение десятичного разделителя при этом — такое же, как было у делимого.

Если делимое кратно делителю, то операция завершится по достижении младшего десятичного разряда делимого и все косточки, кроме тех, на которых накоплен результат, будут справа. Если же нет, то на счётах останется число, соответствующее остатку от деления. Если необходимо, далее можно получать десятичные знаки дробного результата до тех пор, пока хватает проволок на счётах (когда сдвигать десятичный разделитель вниз станет некуда, можно искусственно перенести накопившийся остаток выше, чтобы продолжить деление; так можно получить до 7-8 цифр результата).

Например, вычисляем 715/31:

• Набираем на счётах 715 в нижней части (над проволокой с четырьмя костяшками).
• Из первых разрядов выделяем число, большее 31 и меньшее 310 — это два разряда, 71. Мысленно помещаем десятичный разделитель после единицы.
• Вычитаем 31 из 71. Это можно сделать два раза. На верхней проволоке счёт отбрасываем влево две костяшки. В остатке остаётся 9.
• Осталось 9, что меньше 31. Мысленно сдвигаем десятичный разделитель на одну проволоку вниз. Следующее уменьшаемое — 95.
• Вычитаем 31 из 95. Это можно сделать три раза. На второй проволоке сверху отбрасываем влево три костяшки. В остатке — 2.
• 2 меньше 31. Целая часть делимого использована полностью. Если достаточно получить решение с остатком, то можно зафиксировать результат: на двух верхних проволоках набрано 2 и 3, в делимом осталось 2, то есть результат равен 23 и 2 в остатке, или .
• Если нужны следующие десятичные знаки, то продолжаем операцию дальше: сдвигаем десятичный разделитель на один разряд вниз, но в результате получаем 20, что меньше 31. Поэтому на третьей проволоке сверху оставляем нуль (все костяшки справа) и сдвигаем разделитель ещё на проволоку вниз.
• Вычитаем 31 из 200 — шесть раз. На четвёртой проволоке откладывается 6.
• Сдвигаем десятичный разделитель ещё на разряд. На счётах 140.
• Вычитаем 31 из 140. На пятой проволоке откладывается 4.
• На счётах остаётся 16. Далее сдвигать разряды некуда — закончились проволоки счёт (обычно ниже 4-косточной проволоки на счётах всего три разряда). Поскольку 16 — больше половины от 31, в следующем разряде будет 5 или больше, так что можно зафиксировать округлённый результат: 23,065. При настоятельной необходимости получить следующие цифры результата придётся перенести остаток 16 вверх и продолжить счёт оттуда.

Как и в случае с умножением, при делении десятичных дробей аргументы заменяются на целые числа и вычисления выполняются в точно таком же порядке, а десятичный разделитель в результате переносится на нужное место вручную.

Упрощённые приёмы умножения и деления

Произвольное умножение и, особенно, деление на счётах не слишком удобно. Однако существует целый ряд частных случаев, когда умножение и деление выполняются намного проще:

• Умножение и деление на 10 заменяется переносом числа на разряд вверх или вниз. При этом фактически переносить запись нет никакой необходимости — достаточно мысленно переместить разделитель целой и дробной части числа на одну проволоку, соответственно, вниз или вверх. В руководствах по вычислению на счётах рекомендовалось во время ведения вычислений удерживать палец левой руки на раме счётов напротив промежутка между проволоками, соответствующими единицам и десятым, либо отмечать текущее положение десятичного разделителя каким-нибудь подручным средством (кнопка, гвоздик, вставляемый в специально проделанные в раме счётов отверстия и т. п.).

• Умножение на 2 заменяется сложением числа с самим собой.
• Умножение на 3 заменяется сложением с самим собой два раза.
• Умножение на 4 заменяется двукратным удвоением.
• Умножение на 5 заменяется умножением на 10 и делением на 2.
• Умножение на 6 заменяется умножением на 5 и прибавлением исходного числа.
• Умножение на 7 заменяется троекратным удвоением и вычитанием исходного числа.
• Умножение на 8 заменяется троекратным удвоением.
• Умножение на 9 заменяется умножением на 10 и вычитанием исходного числа.

• Деление на 2. Производится от младших разрядов к старшим. На каждой проволоке производится отбрасывание половины имеющихся косточек. Если на проволоке нечётное количество косточек, то «лишняя» косточка тоже отбрасывается, а на проволоке ниже (в младшем разряде) переносится влево ещё пять косточек. Например, при делении (57 / 2) в разряде единиц нечётное число — будет отброшено 4 косточки (останется 3), при этом в разряде десятых долей будет прибавлено 5, затем в разряде десятков из пяти косточек отбрасывается три (останется 2), а в единичный разряд дополнительно прибавляется 5 (станет 8), таким образом, получается правильный ответ: 28,5.
• Деление на 3 заменяется умножением исходного числа на З и последовательным сложением результата с самим собой со сдвигом вниз столько раз, сколько нужно разрядов в результате. При сдвиге «за пределы счётов» прибавляемое число округляется. Результат сложения нужно разделить на 10. (Используется тот факт, что ).
• Деление на 4 заменяется двукратным делением на 2.
• Деление на 5 заменяется делением на 10 и умножением на 2.
• Деление на 6 заменяется последовательным делением на 2 и на 3.
• Деление на 7 выполняется по общему алгоритму (поразрядное вычитание семёрки).
• Деление на 8 заменяется трёхкратным делением на 2.
• Деление на 9 выполняется сложением числа с самим собой с последовательным поразрядным сдвигом вниз столько раз, сколько нужно разрядов в результате. Результат сложения делится на 10. (Используется соотношение ).

• Умножение и деление на любую степень двойки производится, соответственно, последовательным удвоением или делением на 2.
• Умножение на двузначное число из двух одинаковых цифр «NN» (11, 22, 33, 44 и т. д.) заменяется умножением и сложением со сдвигом:

• Сначала исходное значение умножается на N любым удобным способом.
• Затем десятичный разделитель переносится на разряд вниз и результат умножения прибавляется сам к себе, но со сдвигом вниз на одну проволоку (прибавлять со сдвигом вниз удобнее, так как сложение производится снизу вверх, и добавляемое число косточек всегда видно на одну проволоку выше — нет необходимости что-то запоминать).

Часто можно с помощью несложных манипуляций привести вычисляемую операцию к комбинации частных случаев умножения и деления. Например, умножение на 25 можно заменить умножением на 100 и двукратным делением на 2. Когда один или оба операнда близки к «удобным» для расчётов числам, можно комбинировать специальные случаи умножения и деления со сложением и вычитанием. Но возможность подобных трюков сильно зависит от уровня подготовки вычислителя. Собственно, искусство вычисления на счётах и заключается в умении свести любое требуемое вычисление к комбинации легко поддающихся счёту элементов.

Пример счёта

Известный пример использования счётов для решения задач приводится в рассказе Антона Чехова «Репетитор».^[4]

Гимназист-репетитор Егор Алексеич Зиберов задал малолетнему Пете Удодову задачу:

«Купец купил 138 аршин чёрного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 рублей за аршин, а чёрное — 3 рубля.»

Петя не смог решить её. Впрочем, и сам репетитор не справился, хотя знал, что «задача, собственно говоря, алгебраическая» и «ее с иксом и игреком решить можно». Действительно, если предположить, что х — это количество синего сукна, а у — чёрного, можно составить следующую систему уравнений:

х + у = 138

5х + 3у = 540

решив которую, получим, что y = 75, х = 63.

Однако алгебраическое — с помощью системы уравнений — решение этой задачи ведет к потере её внутренней логики. Петин отец, отставной губернский секретарь Удодов, продемонстрировал другое решение:

— И без алгебры решить можно,— говорит Удодов, протягивая руку к счётам и вздыхая. — Вот, извольте видеть…
Он щёлкает на счётах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было.
 — Вот-с… по-нашему, по-неучёному.

Само «неучёное» решение Чеховым в рассказе не приводится, но оно легко может быть реконструировано, поскольку задача имеет стандартное арифметическое решение, опирающееся на логику и состоящее в выполнении шести арифметических действий:

«Предположим, что всё купленное сукно было синее. Тогда партия в 138 аршин стоила бы 5 * 138 = 690 рублей. Но это на 690—540 = 150 рублей больше того, что было заплачено в действительности. «Перерасход» в 150 рублей указывает на то, что в партии имелось более дешевое, чёрное, сукно — по 3 рубля за аршин. Этого сукна столько, что из двухрублёвой разницы (5 — 3 = 2 рубля) получается 150 «лишних» рублей. То есть, 150 / 2 = 75 аршин чёрного сукна. Отсюда 138 — 75 = 63 аршин сукна синего.»

«Щёлканье на счётах», выполненное Удодовым, выглядело следующим образом:

1. Прежде всего Удодов-старший «набирает» число 138: одна косточка на первой проволоке, три — на второй, восемь — на третьей.
2. Затем он должен умножить 138 на 5. Для упрощения счёта вместо этого он сначала умножает 138 на 10, не делая никаких манипуляций, просто мысленно перенося все косточки одним рядом выше, после чего делит на 2: на каждой проволоке, начиная снизу, откидывает половину косточек. На третьей проволоке, где отложено восемь косточек, откидывает четыре; на средней проволоке из трех косточек откидывает две, при этом одну из них мысленно заменяет десятью нижними и делит их пополам, то есть добавляет пять косточек к тем, что находятся на следующей проволоке; на верхней проволоке убирает одну косточку, прибавляя пять к косточкам на второй проволоке. В результате на верхней проволоке косточек нет, на второй осталось шесть, на третьей — девять. Итого — 690.
3. Далее Удодову-старшему нужно из 690 вычесть 540: со второй проволоки убирается пять косточек, с третьей — четыре. Остается 150.
4. Теперь 150 нужно поделить пополам (см. выше) — получается 75.
5. Осталось из 138 вычесть 75. Повторно «набирается» 138, на второй проволоке нужно отбросить семь, но там только три. Не хватает четырёх, поэтому Удодов-старший оставляет на проволоке шесть косточек (если ему лень вычитать в уме четыре из десяти, он может перекинуть весь десяток на второй проволоке влево и отбросить от него «недовычтенные» четыре косточки), а с первой проволоки снимает одну. Осталось на третьей проволоке из восьми косточек отбросить пять. Получается 63.

См. также

• Абак
• Арифмометр
• Калькулятор
• Соробан
• Суаньпань

Литература

• Спасский И. Г. Происхождение и история русских счётов // Историко-математические исследования. — М.: ГИТТЛ, 1952. — № 5. — С. 269-420.

Ссылки

• «Как считать на счётах»

Примечания