04-07-2023
Знакочередующийся ряд — математический ряд, члены которого попеременно принимают значения противоположных знаков, то есть:
Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:
Пусть дан знакочередующийся ряд
для которого выполняются следующие условия:
Тогда такой ряд сходится.
Ряды, удовлетворяющие признаку Лейбница, называются рядами Лейбница. Такие ряды могут сходиться абсолютно (если сходится ряд ), а могут сходиться условно (если ряд из модулей расходится).
Монотонное убывание не является необходимым для сходимости знакочередующегося ряда (в то время как — необходимое условие сходимости для любого ряда), таким образом и сам признак является только достаточным, но не необходимым (например, ряд сходится). С другой стороны, монотонное убывание существенно для применения признака Лейбница; если оно отсутствует, то ряд может расходиться даже несмотря на то, что второе условие признака Лейбница выполнено. Пример расходящегося знакочередующегося ряда с немонотонным убыванием членов[1]:
Удвоенные частичные суммы этого ряда совпадают с частичными суммами гармонического ряда и поэтому неограниченно растут.
Рассмотрим две последовательности частичных сумм ряда и .
Первая последовательность не убывает: по первому условию.
По тому же условию вторая последовательность не возрастает: .
Вторая последовательность мажорирует первую, то есть для любых . Действительно,
Следовательно они обе сходятся как монотонные ограниченные последовательности.
Осталось заметить, что: , поэтому они сходятся к общему пределу , который и является суммой исходного ряда.
Попутно мы показали, что для любой частичной суммы ряда имеет место оценка .
. Ряд из модулей имеет вид — это гармонический ряд, который расходится.
Теперь воспользуемся признаком Лейбница:
Следовательно, так как все условия выполнены, ряд сходится (причем условно, так как ряд из модулей расходится).
Из теоремы Лейбница вытекает следствие, позволяющее оценить погрешность вычисления неполной суммы ряда (остаток ряда):
Остаток сходящегося знакочередующегося ряда будет по модулю меньше первого отброшенного слагаемого:
Последовательность монотонно возрастающая, так как а выражение неотрицательно при любом целом Последовательность монотонно убывает, так как а выражение в скобках неотрицательно. Как уже доказано при доказательстве самой теоремы Лейбница, у обеих этих последовательностей — и — совпадающий предел при Так получено и также Отсюда и Итак, для любого выполняется что и требовалось доказать.
Знакочередующиеся ряды также иногда называют знакопеременными[3], однако этот термин может также означать любые ряды, имеющие одновременно бесконечное число положительных и отрицательных членов.
Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов.