22-10-2023
Критерий согласия Колмогорова или Критерий согласия Колмогорова-Смирнова — статистический критерий, использующийся для определения того, подчиняются ли два эмпирических распределения одному закону, либо того, подчиняется ли полученное распределение предполагаемой модели. Носит имена математиков Андрея Николаевича Колмогорова и Николая Васильевича Смирнова.
Критерий Колмогорова-Смирнова о проверке гипотезы об однородности двух эмпирических законов распределения является одним из основных и наиболее широко используемых непараметрических критериев, так как достаточно чувствителен к различиям в исследуемых выборках.
Содержание |
Эмпирическая функция распределения (ЭФР) случайной величины , построенная по выборке , имеет вид:
где указывает, попало ли наблюдение в область :
Статистика критерия для эмпирической функции распределения определяется следующим образом:
где — точная верхняя грань множества , - предполагаемая модель.
Обозначим нулевую гипотезу , как гипотезу о том, что выборка подчиняется распределению . Тогда по теореме Колмогорова для введённой статистики справедливо:
Учтём, что критерий имеет правостороннюю критическую область.
| Правило (параметрический критерий Колмогорова). Если статистика превышает процентную точку распределения Колмогорова заданного уровня значимости , то нулевая гипотеза (о соответствии закону ) отвергается. Иначе гипотеза принимается на уровне . |
Если достаточно близко к 1, то можно приблизительно рассчитать по формуле:
Асимптотическая мощность критерия равна 1.
Обозначим теперь за нулевую гипотезу гипотезу о том, что две исследуемые выборки подчиняются одному распределению случайной величины .
| Теорема Смирнова. Пусть — эмпирические функции распределения, построенные по независимым выборкам объёмом и случайной величины . Тогда, если , то , где . |
Теорема Смирнова позволяет использовать данный критерий для проверки двух выборок на однородность.
| Правило (непараметрический критерий Колмогорова). Если статистика превышает квантиль распределения Колмогорова для заданного уровня значимости , то нулевая гипотеза (об однородности выборок) отвергается. Иначе гипотеза принимается на уровне . |
Критерий согласия Колмогорова.