Многочле́ны Чебышева — две последовательности ортогональных многочленов и , названные в честь Пафнутия Львовича Чебышева.
Многочлены Чебышева играют важную роль в теории приближений, поскольку корни многочленов Чебышева первого рода используются в качестве узлов в интерполяции алгебраическими многочленами.

Многочлен Чебышева первого рода характеризуется как многочлен степени со старшим коэффициентом , который меньше всего отклоняется от нуля на интервале . Впервые рассмотрены самим Чебышёвым.

Многочлен Чебышева второго рода характеризуется как многочлен степени со старшим коэффициентом , интеграл от абсолютной величины которого по интервалу принимает наименьшее возможное значение. Впервые рассмотрены в совместной работе двух учеников Чебышева — Коркина и Золотарёва.

Рекурсивное определение

Многочлены Чебышева первого рода могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:

Многочлены Чебышева второго рода могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:

Явные формулы

Многочлены Чебышева являются решениями уравнения Пелля:

в кольце многочленов с вещественными коэффициентами и удовлетворяют тождеству:

Из последнего тождества также следуют явные формулы:

Тригонометрическое определение

Многочлены Чебышева первого рода могут быть также определены с помощью равенства:

или, что почти эквивалентно,

Многочлены Чебышева второго рода могут быть также определены с помощью равенства:

Примеры

Несколько первых многочленов Чебышева первого рода

Несколько первых многочленов Чебышева второго рода

Свойства

Многочлены Чебышева обладают следующими свойствами:

• Многочлены чётных степеней являются чётными функциями, нечётных — нечётными функциями.
• Сумма коэффициентов многочленов Чебышева первого рода равняется 1, а коэффициентов многочленов второго рода равняется .
• Ортогональность по отношению к соответствующим скалярному произведению (с весом для многочленов первого рода и для многочленов второго рода).
• Среди всех многочленов, значения которых на отрезке не превосходят по модулю 1, многочлен Чебышева имеет:
  • наибольший старший коэффициент
  • наибольшее значение в любой точке за пределами
  • если , то , где  — коэффициент многочлена Чебышева первого рода,  — коэффициент любого из рассматриваемых полиномов.
• Нули полиномов Чебышева являются оптимальными узлами в различных интерполяционных схемах. Например, в методе дискретных особенностей, который часто используется при исследовании интегральных уравнений в электродинамике и аэродинамике.
• На концах и середине отрезка выполняются следующие соотношения:

• Многочлен Чебышева первого рода порядка N является частным случаем фигур Лиссажу при соотношении частот, равном N и амплитуде обоих сигналов, равной 1.

Применения

Многочлены Чебышева применяются для расчета антенной решётки. Мощность излучения каждой антенны рассчитывается при помощи многочленов Чебышева. Это позволяет управлять формой диаграммы направленности, а точнее соотношением амплитуды основного и боковых лепестков.

Вариации и обобщения

• Вопрос о многочленах минимальной нормы с фиксированными коэффициентами при двух старших степенях был рассмотрен позднее Золотарёвым, найденные им полиномы носят название многочлены Золотарёва.
• Многочлены Фабера

Литература

• Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т. Функции математической физики. — М.: Физматлит, 1963.

Ссылки

• Васильев Н., Зелевинский А. Многочлены Чебышева и рекуррентные соотношения // Квант. — 1982. — № 1. — С. 12-19.

• Сайт, посвящённый методу дискретных особенностей в задачах математической физики, который основан на интерполяционных формулах с использованием полиномов Чебышева