Многочлены Эрмита

Многочлены Эрмита — определённого вида последовательность многочленов одной вещественной переменной. Многочлены Эрмита возникают в теории вероятностей, в комбинаторике, физике.

Эти многочлены названы в честь Шарля Эрмита.

Содержание

1 Определение
2 Свойства
- 2.1 Формула сложения
3 Дифференцирование и рекуррентные соотношения
4 Ортогональность
5 Дифференциальные уравнения
6 Представления
7 Связь с другими специальными функциями
8 Применение
9 Ссылки

Определение

Графики многочленов Эрмита порядка (вероятностное определение)

В теории вероятностей полиномы Эрмита обычно определяются выражением:

;

в физике обычно используется другое определение:

Два определения, приведённые выше, не являются в точности эквивалентными друг другу; каждое из них является «отмасштабированной» версией другого

Явные выражения для первых одиннадцати (n = 0,1,…,10) многочленов Эрмита приведены ниже (вероятностное определение):

Аналогичным образом определяются первые одиннадцать (n = 0,1,…,10) многочленов Эрмита в физическом определении:

Общее уравнение для многочленов Эрмита имеет вид: $H_n(x)=\sum_{j=0}^{[n/2]}{(-1)^j} \frac{n!}{j!(n-2j)!}(2x)^{n-2j}=x^n-\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}+\frac{1}{4}\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2}x^{n-4}-\ldots,$

Свойства

Многочлен содержит члены только той же чётности, что и само число :

При верны такие соотношения:

Уравнение имеет действительных корней, что есть попарно симметричным относительно начала системы координат и модуль каждого из них не превосходит величины . Корни многочлена чередуются с корнями многочлена .

Многочлен можно представить в виде определителя матрицы :

$H_n(x)=\left |\begin{array}{cccccc} x & n-1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & x & n-2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & x & n-3 & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & x \end{array}\right |$

Формула сложения

Имеет место следующая формула сложения многочленов Эрмита:

$\frac{(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)^{\frac{\mu}{2}}}{\mu!}H_{\mu} \left [ \frac{a_1 x_1+a_2 x_2+\cdots a_nx_n}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}}\right ]= \sum_{m_1+\cdots+m_n=\mu}\frac{a_1^{m_1}}{m_1!}\cdots \frac{a_n^{m_n}}{m_n!} H_{m_1}(x_1)\cdots H_{m_n}(x_n)~.$

Легко видеть, что следующие формулы являются её частными случаями:

, . Тогда

, , . Тогда

$2^\mu H_{\mu}(x+y)=\sum_{p+q+r+s=\mu}\frac{\mu!}{p!~q!~r!~s!}H_p(x)H_q(x)H_r(x)H_s(x)$ .

Дифференцирование и рекуррентные соотношения

Производная -ого порядка от многочлена Эрмита , также есть многочлен Эрмита:
$\frac{d^k}{dx^k}H_n(x)=n(n-1)\cdots (n-k+1)H_{n-k}(x)~,$
Отсюда получается соотношение для первой производной

и рекуррентное соотношение между тремя последовательными многочленами:
$H_n(x)-xH_{n-1}(x)+(n-1)H_{n-2}(x)=0~,~~ n \ge 2$
Для физического определения рекуррентное соотношение между тремя последовательными многочленами:
$H_n(x)-2xH_{n-1}(x)+2(n-1)H_{n-2}(x)=0~,~~ n \ge 2$

Ортогональность

Многочлен Эрмита создает полную ортогональную систему на интервале с весом :

где — дельта-символ Кронекера.

Важным следствием ортогональности многочленов Эрмита есть возможность разложения разных функций в ряды по многочленам Эрмита. Для любого неотрицательного целого справедлива запись

$\frac{x^p}{p!}=\sum_{k=0}^{k\le p/2}\frac{1}{2^k}\frac{1}{k!(p-2k)!}H_{p-2k}(x).$

Из этого выплывает связь между коэффициентами разложения функции в ряд Маклорена и коэффициентами разложения этой же функции за многочленами Эрмита, ,которые называются отношениями Нильса Нильсона:

Например, более, чем очевидно, что разложение функции Куммера будет иметь такой вид:

${}_1F_1(\alpha,\gamma;x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(\alpha,n)}{(\gamma,n)(1,n)}{}_2F_2\left (\frac{\alpha+n}{2},\frac{\alpha+n+1}{2};\frac{\gamma+n}{2},\frac{\gamma+n+1}{2}; \frac{1}{2}\right )H_n(x),~~~(a,b)\equiv\frac{\Gamma (a+b)}{\Gamma(a)},$

где —обобщённая гипергеометрическая функция второго порядка, — гамма-функция.

Разложение функций, в которых присутствует экспонента.

Для любой функции, которая записывается как суперпозиция экспонент $f(x)=\sum_{k=1}^{p}c_k e^{\alpha_k x},$ можно записать следующее разложение по многочленам Эрмита:
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}A_n H_n(x)~,~~~A_n=\frac{1}{n!}\sum_{k=1}^{p}c_k \alpha_k^n e^{\frac{\alpha_k^2}{2}}~.$

Разложения известных гиперболических и тригонометрических функций имеют вид

$\mathrm{ch}\, {tx}=e^{\frac{t^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty\frac{t^{2n}}{(2n)!}H_{2n}(x),~~~ \mathrm{sh}\, {tx}=e^{\frac{t^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}H_{2n+1}(x),$

$\cos {tx}=e^{-\frac{t^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{t^{2n}}{(2n)!}H_{2n}(x),~~~ \sin {tx}=e^{-\frac{t^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}H_{2n+1}(x),$

Дифференциальные уравнения

Многочлены Эрмита являются решениями линейного дифференциального уравнения:

Если является целым числом, то общее решение выше приведённого уравнения записывается как

где — произвольные постоянные, а функции называются функциями Эрмита второго рода. Эти функции не приводятся к многочленам и их можно выразить только с помощью трансцендентных функций и .

Представления

Многочлены Эрмита предполагают такие представления:

где — контур, который охватывает начало координат.

Другое представление имеет вид:

Связь с другими специальными функциями

Связь с функцией Куммера:
Связь с многочленнами Лагерра:

Применение

В квантовой механике многочлены Эрмита входят в выражение волновой функции квантового гармонического осциллятора. В безразмерных переменных уравнения Шрёдингера, которое описывает состояние квантового гармонического осциллятора, имеет вид:

$\left (-\frac{d^2}{dx^2}+x^2 \right )\psi_n(x)=\lambda_n \psi_n(x)$ .

Решениями этого уравнения являются собственные функции осциллятора, которые отвечают собственным значениям . Нормированые на единицу, они записываются как

$\psi_n(x) = e^{-\frac{x^2}{2}}\frac{(-1)^n}{\sqrt{2^n n! \sqrt{\pi}}}H_n^*(x)~,~~n=0,1,2,\dots~$ .

В данном выражении используются именно «физические» многочлены Эрмита .

Многочлены Эрмита используются в решении одномерного уравнения теплопроводности на бесконечном интервале. Это уравнение имеет решение в виде экспоненциальной функции . Поскольку такую функцию можно представить в виде разложения по многочленам Эрмита, а с другой стороны она может быть разложена в ряд Тейлора по :

$e^{\alpha x+\alpha^2 t}=\sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{n!}P_n(x,t)$ ,

то функции , которые являются решением уравнения теплопроводности и удовлетворяют начальному условию , выражаются через многочлены Эрмита следующим образом:

$P_n(x,t)=(i\sqrt{2t})^nH_n \left ( \frac{x}{i\sqrt{2t}} \right )=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{(x-y)^2}{4t}}y^n dy$ .

Для получения последнего равенства был использован интеграл Пуассона — Фурье.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Hermite Polynomial (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Module for Hermite Polynomial Interpolation by John H. Mathews

Ортогональные многочлены

Stamp-i-k.ru

Печати, штампы

Рекомендуем