Преобразование Ханкеля

В математике, преобразование Ханкеля порядка ν функции f(r) задаётся формулой:

$F_\nu(k) = \int\limits_0^\infty f(r)J_\nu(kr)\,r\,dr$

где J_ν — функция Бесселя первого рода порядка ν и ν ≥ −1/2. Обратным преобразованием Ханкеля функции F_ν(k) называют следующее выражение:

$f(r) =\int\limits_0^\infty F_\nu(k)J_\nu(kr) k~dk$

которое можно проверить с помощью ортогональности, описанной ниже. Преобразование Ханкеля является интегральным преобразованием. Оно было изобретено Германом Ханкелем и известно также под именем преобразование Бесселя-Фурье.

Содержание

1 Область определения
2 Ортогональность
3 Преобразование Ханкеля некоторых функций
4 См
5 Ссылки

Область определения

Преобразование Ханкеля функции f(r) верно для любых точек на интервале (0, ∞), в которых функция f(r) непрерывна или кусочно-непрерывна с конечными скачками, и интеграл

$\int\limits_0^\infty |f(r)|\,r^{1/2}\,dr$

конечен.

Возможно также расширить это определение (подобно тому, как это делается для преобразования Фурье), включив в него некоторые функции, интеграл которых бесконечен (например, ).

Ортогональность

Функции Бесселя формируют ортогональный базис с весом r:

$\int\limits_0^\infty J_\nu(kr)J_\nu(k'r)r~dr = \frac{\delta (k-k')}{k}$

для k и k' больше чем ноль.