Преобразова́ние Лапла́са — интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

Содержание 1 Определение 1.1 Прямое преобразование Лапласа 1.2 Обратное преобразование Лапласа 1.3 Двустороннее преобразование Лапласа 1.4 Дискретное преобразование Лапласа 2 Свойства и теоремы 3 Прямое и обратное преобразование Лапласа некоторых функций 4 Применения преобразования Лапласа 5 Связь с другими преобразованиями 5.1 Фундаментальные связи 5.2 Преобразование Лапласа — Карсона 5.3 Двустороннее преобразование Лапласа 5.4 Преобразование Фурье 5.5 Преобразование Меллина 5.6 Z-преобразование 5.7 Преобразование Бореля 6 Библиография 7 См. также 8 Ссылки 9 Примечания

Определение

Прямое преобразование Лапласа

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной , называется функция комплексной переменной ^[1], такая что:

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

Обратное преобразование Лапласа

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного , называется функция вещественной переменной, такая что:

где  — некоторое вещественное число (см. условия существования). Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции участвуют значения .

Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:

Дискретное преобразование Лапласа

Применяется в сфере систем компьютерного управления. Дискретное преобразование Лапласа может быть применено для решётчатых функций.

Различают -преобразование и -преобразование.

• -преобразование

Пусть  — решётчатая функция, то есть значения этой функции определены только в дискретные моменты времени , где  — целое число, а  — период дискретизации.

Тогда применяя преобразование Лапласа получим:

• -преобразование

Если применить следующую замену переменных:

получим -преобразование:

Свойства и теоремы

• Абсолютная сходимость

Если интеграл Лапласа абсолютно сходится при , то есть существует предел

то он сходится абсолютно и равномерно для и  — аналитичная функция при ( — вещественная часть комплексной переменной ). Точная нижняя грань множества чисел , при которых это условие выполняется, называется абсциссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа для функции .

• Условия существования прямого преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа существует в смысле абсолютной сходимости в следующих случаях:

1. : преобразование Лапласа существует, если существует интеграл ;
2. : преобразование Лапласа существует, если интеграл существует для каждого конечного и для ;
3. или (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции (производная от ) для .

Примечание: это достаточные условия существования.

• Условия существования обратного преобразования Лапласа

Для существования обратного преобразования Лапласа достаточно выполнение следующих условий:

1. Если изображение  — аналитичная функция для и имеет порядок меньше −1, то обратное преобразование для неё существует и непрерывно для всех значений аргумента, причём для .
2. Пусть , так что аналитична относительно каждого и равна нулю для , и , тогда обратное преобразование существует и соответствующее прямое преобразование имеет абсциссу абсолютной сходимости.

Примечание: это достаточные условия существования.

• Теорема о свёртке

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов:

• Умножение изображений

Левая часть этого выражения называется интегралом Дюамеля, играющим важную роль в теории динамических систем.

• Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа:

В более общем случае (производная -го порядка):

Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала, делённое на свой аргумент:

• Дифференцирование и интегрирование изображения

Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком:

Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, делённый на свой аргумент:

• Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы

Запаздывание изображения:

Запаздывание оригинала:

Примечание:  — функция Хевисайда.

Теоремы о начальном и конечном значении (предельные теоремы):

, все полюсы в левой полуплоскости.

Теорема о конечном значении очень полезна, так как описывает поведение оригинала на бесконечности с помощью простого соотношения. Это, например, используется для анализа устойчивости траектории динамической системы.

• Другие свойства

Линейность:

Умножение на число:

Прямое и обратное преобразование Лапласа некоторых функций

Ниже представлена таблица преобразования Лапласа для некоторых функций.

№	Функция	Временная область	Частотная область	Область сходимости для причинных систем
1	идеальное запаздывание
1a	единичный импульс
2	запаздывание -го порядка с частотным сдвигом
2a	степенная -го порядка
2a.1	степенная -го порядка
2a.2	единичная функция
2b	единичная функция с запаздыванием
2c	«ступенька скорости»
2d	-го порядка с частотным сдвигом
2d.1	экспоненциальное затухание
3	экспоненциальное приближение
4	синус
5	косинус
6	гиперболический синус
7	гиперболический косинус
8	экспоненциально затухающий синус
9	экспоненциально затухающий косинус
10	корень -го порядка
11	натуральный логарифм
12	функция Бесселя первого рода порядка
13	модифицированная функция Бесселя первого рода порядка
14	функция Бесселя второго рода нулевого порядка
15	модифицированная функция Бесселя второго рода, нулевого порядка
16	функция ошибок
Примечания к таблице:  — функция Хевисайда;  — дельта-функция;  — гамма-функция;  — постоянная Эйлера — Маскерони;  — вещественная переменная;  — комплексная переменная; , , и  — вещественные числа;  — целое число. Причинная система — система, в которой импульсная передаточная функция равна нулю для любого момента времени .

Применения преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа находит широкое применение во многих областях математики (операционное исчисление), физики и техники:

• Решение систем дифференциальных и интегральных уравнений — с помощью преобразования Лапласа легко переходить от сложных понятий математического анализа к простым алгебраическим соотношениям.^[2]
• Расчёт передаточных функций динамических систем, таких, к примеру, как аналоговые фильтры.
• Расчёт выходных сигналов динамических систем в теории управления и обработке сигналов — так как выходной сигнал линейной стационарной системы равен свёртке её импульсной характеристики с входным сигналом, преобразование Лапласа позволяет заменить эту операцию на простое умножение.
• Расчёт электрических схем. Производится путём решения дифференциальных уравнений, описывающих схему операторным методом.
• Решение нестационарных задач математической физики.

Связь с другими преобразованиями

Фундаментальные связи

Практически все интегральные преобразования имеют схожую природу и могут получаться одно из другого через выражения соответствия. Многие из них являются частными случаями других преобразований. Далее даны формулы, связывающие преобразования Лапласа с некоторыми другими функциональными преобразованиями.

Преобразование Лапласа — Карсона

Преобразование Лапласа — Карсона получается из преобразования Лапласа путём домножения его на комплексную переменную:

Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа связано с односторонним с помощью следующей формулы:

Преобразование Фурье

Непрерывное преобразование Фурье эквивалентно двустороннему преобразованию Лапласа с комплексным аргументом :

Примечание: в этих выражениях опущен масштабирующий множитель , который часто включается в определения преобразования Фурье.

Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа часто используется для того, чтобы определить частотный спектр сигнала или динамической системы.

Преобразование Меллина

Преобразование Меллина и обратное преобразование Меллина связаны с двусторонним преобразованием Лапласа простой заменой переменных. Если в преобразовании Меллина

положим , то получим двустороннее преобразование Лапласа.

Z-преобразование

-преобразование — это преобразование Лапласа решётчатой функции, производимое с помощью замены переменных:

где  — период дискретизации, а  — частота дискретизации сигнала.

Связь выражается с помощью следующего соотношения:

Преобразование Бореля

Интегральная форма преобразования Бореля идентична преобразованию Лапласа, существует также обобщённое преобразование Бореля, с помощью которого использование преобразования Лапласа распространяется на более широкий класс функций.

Библиография

• Ван дер Поль Б., Бремер Х. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа. — М.: Издательство иностранной литературы, 1952. — 507 с.
• Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1974. — 544 с.
• Диткин В. А., Кузнецов П. И. Справочник по операционному исчислению: Основы теории и таблицы формул. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951. — 256 с.
• Карслоу Х., Егер Д. Операционные методы в прикладной математике. — М.: Издательство иностранной литературы, 1948. — 294 с.
• Кожевников Н. И., Краснощекова Т. И., Шишкин Н. Е. Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. — М.: Наука, 1964. — 184 с.
• Краснов М. Л., Макаренко Г. И. Операционное исчисление. Устойчивость движения. — М.: Наука, 1964. — 103 с.
• Микусинский Я. Операторное исчисление. — М.: Издательство иностранной литературы, 1956. — 367 с.
• Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. — М.: Наука, 1980. — 336 с.

См. также

• Первая теорема разложения
• Вторая теорема разложения
• Преобразование Фурье
• Дифференциальные уравнения

Ссылки

• Преобразование Лапласа на сайте exponenta.ru

Примечания