Пространственная форма — связное полное риманово многообразие постоянной кривизны .

Пространственная форма называется сферической, евклидовой или гиперболической если соответственно , , .

С помощью перенурмеровки метрики, классификацию пространственных форм можно свести к трём случаям: .

Примеры

• Евклидовы пространственные формы:
  • Евклидово пространство.
  • Плоский тор , где  — -мерная решетка в ,.
  • Бутылка Клейна с плоской метрикой.
  • При имеется классов ориентируемых и класса неориентируемых аффинно не эквивалентных компактных eвкидовых пространственных форм
  • Двумерная некомпактная eвкидова пространственная форма, отличная от , гомеоморфна цилиндру, либо листу Мёбиуса.
• Сферические пространственные формы:
  • Сфера в радиуса есть сферическая пространственная форма кривизны .
  • Линзовое пространство с метрикой постоянной кривизны
  • Сфера Пуанкаре с метрикой постоянной кривизны
  • Вещественное проективное пространство с метрикой постоянной кривизны
• Гиперболические пространственные формы:
  • Пространство Лобачевского (гиперболическое пространство) .
  • Двумерную ориентированную компактную гипрболическую пространственную форму рода можно склеить из выпуклого -угольника в плоскости Лобачевского с попарно равными сторонами и суммой углов равной . Семейство неизоморфных компактных гиперболических пространственных форм размерности рода зависит от вещественных параметров.
  • Примеры гиперболических пространственных форм приведены в ^[1].

Общие свойства

• При произвольном и существует единственная с точностью до изометрии -мерная односвязная пространственная форма кривизны . Если то это -мерная сфера радиуса , при это евклидово пространство и при это -мерное пространство Лобачевского.
  • Универсальное накрытие любой -мерной пространственной формы кривизны с поднятой метрикой изометрично .
  • Иначе говоря, любая -мерная пространственная форма кривизны может быть получена из факторизацией по дискретной группе движений, действующих свободно (то есть без неподвижных точек); при этом два пространства и изометричны в том и только в том случае, когда и сопряжены в группе всех движений . Тем самым проблема классификации пространственных форм сводится к задаче описания всех несопряженных групп движений пространств , в , действующих дискретно и свободно.

Свойства сферических пространственных форм

Исчерпывающая классификация сферических пространственных форм получена в ^[2]

• Если чётно, то единственным движением сферы без неподвижных точек является центральная симметрия, переводящая каждую точку сферы в диаметрально противоположную. Факторпространство по группе , порожденное этим движением, есть вещественная проективная плоскость с метрикой постоянной кривизны (также называется пространство Римана или эллиптическое пространство). В частности
  • Любая сферическая пространственная форма чётной размерности изометрична либо , либо .
• Любая конечная циклическая группа может служить фундаментальной группой сферической пространственной формы (см. линзовое пространство).
• Чтобы нециклическая группа порядка могла служить фундаментальной группой -мерной сферической пространственной формы, необходимо (но не достаточно), чтобы было взаимно просто с и делилось на квадрат какого-либо целого числа.

Свойства eвклидовых пространственных форм

Фундаментальные группы компактых eвклидовых пространственных форм являются частным случаем кристаллографических групп. Теоремы Бибербаха о кристаллографических группах в приводят к структурной теории компактных eвклидовых пространственных форм произвольной размерности:

• Для любого существует только конечное число разных классов афинно не эквивалентных компактных eвклидовых пространственных форм размерности .
• Две компактные eвклидовы пространственные формы и аффинно эквивалентны, тогда и только тогда, когда их фундаментальные группы и изоморфны.
  • Например, любая двумерная компактная eвклидова пространственная форма гомеоморфна (а следовательно, аффинно эквивалентна) либо плоскому тору, либо плоской бутылке Клейна.
• Абстрактная группа тогда и только тогда может служить фундаментальной группой компактной eвклидовой пространственной формы , когда
  1. имеет нормальную абелеву подгруппу конечного индекса, изоморфную ;
  2. совпадает со своим централизатором в ;
  3. не имеет элементов конечного порядка.
  • Если такая группа реализована в виде дискретной подгруппы в группе всех движений пространства , то совпадает с множеством параллельных сдвигов, принадлежащих , и имеется нормальное накрытие пространства плоским тором .
  • Конечная группа изоморфна группе голономии пространства .
• Компактная евклидова пространственная форма всегда имеет конечную группу голономии.
  • Справедливо и обратное утверждение: компактное риманово пространство, группа голономии которого конечна, является плоским.
• Любая конечная группа изоморфна группе голономии некоторой компактной eвклидовой пространственной формы.
• Любая некомпактная eвклидова пространственная форма допускает вещественноаналитическую ретракцию на компактное вполне геодезическое плоское подмногообразие (см. теорема о душе).
  • В частности класс фундаментальных групп некомпактных eвкидовых пространственных форм совпадает с классом фундаментальных групп компактных eвклидовых пространственных форм.

Свойства гиперболических пространственных форм

• Компактные гиперболические пространственные формы размерности , имеющие изоморфные фундаментальные группы, изометричны.

История

Исследование двумерных гиперболических пространственных форм по существу началось в 1888, когда Пуанкаре изучая дискретные группы дробно-линейных преобразований комплексной полуплоскости  — фуксовы группы, заметил, что их можно трактовать как группы движений плоскости Лобачевского.

Проблема классификации -мерных римановых пространств произвольной постоянной кривизны была сформулирована Киллнигом (нем.), который назвал её проблемой пространственных форм Клиффорда — Клейна; современная формулировка этой проблемы была дана Хопфом (1925).

Вариации и обобщения

Кроме римановых пространственных форм изучались их обобщения: псевдоримановы, аффинные и комплексные пространственные формы и пространственные формы симметрических пространств.

Литература

1. ↑ Винберг Э. Б., «Матем.сб.», 1969, т. 78, № 4, с. 633—39;
2. ↑ Вольф Дж., Пространства постоянной кривизны, пер. с англ. , М . , 1982